Nichtlineare Dynamik und Chaos

Definition Es sei f: X → X, X ≠ θ, eine Abbildung einer Menge X in sich¹⁾. Die Abbildungen fⁿ: X → X, definiert durchmit x ∈ X und n ∈ ℤ⁺ = ℕ ⋃ {0}, werden als die (Vorwärts-)Iterierten von f bezeichnet. Ist f umkehrbar²⁾dann bezeichnen wir die Abbildungen f^-n : X → X, definiert durchals die Rückwärtsiterierten von f.

Definition Eine stetige Funktion f : [a‚b] → [a‚b] mit genau einem Maximum im kritischen Punkt c ∈ (a, b) heißt unimodal, wenn f auf [a,c] streng monoton wachsend und auf [c,b] streng monton fallend ist. f(c) bezeichnet man dann als den kritischen Wert.

In diesem Abschnitt untersuchen wir das dynamische Verhalten der logistischen Abbildungen

Im dritten Abschnitt konnten wir bereits beobachten, daß in den Feigenbaum-Diagrammen „rechts von“ a_∞ sogenannte periodische Fenster in Bereichen mit überwiegend nichtperiodischer Dynamik Vorkommen.

Definition \(\subseteq\) sei ein Intervall (I = ℝ ist zugelassen) und\(\mathfrak{A} \subset \mathfrak{P}(\text I)\)sei die σ-Algebra der Borelschen Teilmengen von I (vergleiche Anhang A2).

Nun haben wir alle Zutaten beisammen, um Chaos sinnvoll definieren zu können. Zuvor sollten wir uns aber noch einmal vor Augen führen, daß wir zwei gleichberechtigte Definitionen von Sensitivität, nämlich die von Guckenheimer und die von Ruelle (vergleiche Definition 5.12) vor uns hertragen. Die offene Frage lautet: Sind sie äquivalent beziehungsweise unter welchen Voraussetzungen sind sie äquivalent? Guckenheimer [54], S. 159f., mutmaßt, daß Sensitivität von f äquivalent sein könnte zur Existenz eines eindeutigen f-invarianten absolutstetigen (nicht unbedingt er- godischen) Maßes. Dies würde die Existenz und Unabhängigkeit des Lyapunov- Exponenten λ _f vom Anfangswert x sichern (letzteres bei einem ergodischen Maß), aber warum gilt λ _f > 0?

In diesem Abschnitt soll zunächst für die logistische Abbildung für \(a > 2 + \sqrt 5 \)(vergleiche Satz 3.7) gezeigt werden, daß sie auf der Cantor-Mengemitundchaotisch ist¹⁾. Dazu basteln wir uns ein symbolisches Modell, das, wie sich bald herausstellen wird, topologisch konjugiert ist zu f_a und eine äquivalente Dynamik aufweist. Zunächst erscheint dieses Modell künstlich, und wir können überhaupt keine Verbindung zur logistischen Abbildung \(f_a(a >2+\sqrt5)\) erkennen. Aber je länger wir uns damit beschäftigen, desto klarer wird es, daß solch ein symbolisches Modell die Dynamik von f _a vollständig beschreiben kann und das sogar auf die einfachste mögliche Weise.

In Abschnitt 3 haben wir die Periodenverdopplungen bei der logistischen Abbildungfür 3 ≤ a < a_∞ (a_∞: Feigenbaumpunkt) qualitativ anhand der Graphen von f_a und ihrer Iterierten \(f_a^{2^n}\) für n = 1,2,3,… untersucht. Mit anwachsendem Parameterwert a konnten wir im Graphen von f_a² einen kleinen Ausschnitt finden, der bei geeigneter Vergrößerung dem ursprünglichen Graphen von f_a über [0,1] (für einen früheren Parameterwert a) stark ähnelt.

In diesem Abschnitt operieren wir auf folgendem Funktionenraum: 9.1 Definition \(\mathfrak{M}\)bezeichne die Menge aller stetig differenzierbaren Abbildungen f des Intervalls [-1,1] in sich selbst mit folgenden Eigenschaften:

Die in diesem Abschnitt verwendeten Normen sind die euklidischen.

Definition M ≠ θ sei ein Hausdorff-Raum¹⁾, dessen Topologie eine abzählbare Basis besitzt. Existiert dann zu jedem Punkt x ∈ M eine offene Umgebung U = U(x), die homöomorph ist zu einer offenen Kugel B des ℝⁿ, n ∈ ℕ, ausgestattet mit der natürlichen Topologie, dann nennt man M eine topologische Mannigfaltigkeit. Jedes Paar (U,h) aus einer solchen Umgebung U und einem Homöomorphismus h : U → B ⊂ ℝ ⁿ heißt Karte (oder ein System lokaler Koordinaten). Eine Menge A = {(U _i , h _i ) | i ∈ I} nennt man einen Atlas von M, falls {U _i | i ∈ I} eine Überdeckung von M ist

Beide Stichworte aus der Überschrift sind uns in den Beispielen des 10. Abschnitts bereits begegnet: Das Solenoid ist eine hyperbolische Menge und, wie wir gezeigt haben, ein chaotischer Attraktor, Smales Horseshoe-Abbildung ist chaotisch auf einer maximalen invarianten Menge mit hyperbolischer Struktur, und die hyperbolischen toralen Automorphismen sind, als lineare Spezialfälle der Anosov-Diffeomorphismen, hyperbolisch auf dem gesamten Torus \(\mathbb{T}^2\), der andererseits für sie einen chaotischen Attraktor darstellt. Dabei haben wir den Begriff „hyperbolische Menge“ lediglich informell verwendet, um einen all diesen Beispielen gemeinsamen Sachverhalt zu beschreiben, daß nämlich jeder Punkt einer solchen Menge mit einer stabilen und einer instabilen Richtung ausgestattet ist. Dies ist die allen genannten Beispielen gemeinsame Ursache für die Vorgefundene chaotische Dynamik. Die stabilen und die instabilen Mengen eines jeden hyperbolischen Punktes sind in den Beispielen jeweils dicht in den jeweiligen invarianten Grenzmengen, was auf eine äußerst komplizierte Dynamik der Schnittpunkte beider Mengen hinweist. Man bezeichnet letztere als homokline Punkte, die, zum Beispiel für Arnolds cat map, dicht liegen auf dem Torus \(\mathbb{T}^2\). Im Gegensatz zu der „geometrisch konstruierten“ chaotischen Dynamik auf hyperbolischen Grenzmengen der bisher genannten Beispiele hat der Hénon-Attraktor vermutlich keine „saubere“ hyperbolische Struktur. Dies hat er gemeinsam mit dem Kasseler Eiffelturm und vergleichbaren Modellen im ℝ ⁿ für n ≥ 2.

Hyperbolizität und strukturelle Stabilität spielen eine entscheidende Rolle in der Entwicklung der Theorie dynamischer Systeme der vergangenen vierzig Jahre. Die Theorie hyperbolischer Mengen wurde maßgeblich in den 60er Jahren vorangetrieben und ist aufs engste mit dem Namen Smale verknüpft. Er präsentierte Mitte des Jahrzehnts ein einfaches geometrisches Beispiel (keine Formeln, nur ein Bild und eine geometrische Beschreibung), den Horseshoe, und mit ihm den Prototypen schlechthin für komplizierte nichtlineare Dynamik.

Die Beschreibung eines dynamischen Systems ist vergleichsweise einfach für diskrete Zeit, weil die Abbildung, welche das diskrete dynamische System generiert, in der Regel explizit angegeben werden kann. Im Gegensatz dazu ist ein kontinuierliches dynamisches System (vergleiche Definition 1.19) üblicherweise infinitesimal vorgegeben, im allgemeinen durch eine Differentialgleichung, und die Rekonstruktion der Dynamik aus dieser infinitesimalen Beschreibung verlangt nach geeigneten Integrationsschritten.

Bei der Formulierung der Bewegungsgesetze der Mechanik mit Hilfe der Lagrange-Gleichung (14.59) wird der mechanische Zustand eines Systems durch seine verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten beschrieben, das heißt,