Nichtlineare Schaltungen

In einer elektrischen Schaltung bestimmen die Bauelemente durch ihre Kennlinie die Größen der elektrischen Ströme und Spannungen im Netzwerk. Die Bauelemente werden wie in linearen Schaltungen klassifiziert. Die kennzeichnenden Kennlinien sind nichtlinear. Als Kennliniengrößen sollen nicht die des im Bauelement auftretenden elektromagnetischen Feldes, sondern die integralen Größen, wie Strom I, Spannung U, Ladung Q usw. benutzt werden, die auch die geometrischen Abmessungen des Bauelementes enthalten.

Nichtlineare Kennlinien werden durch mathematische Funktionen dargestellt, die mit Dimensionen behaftete Koeffizienten besitzen. Daher ist es zweckmäßig, nichtlineare Kennlinien normiert darzustellen, z.B. I/I₁ = f(U/U₁).

Gleichstromnetzwerke enthalten nur lineare und nichtlineare Widerstände und Spannungs- und Stromquellen. Nach einer Zusammenstellung von Regeln über Ströme und Spannungen in einem Netzwerk, die sowohl für lineare wie nichtlineare Bauelemente gelten, werden vor allem grafische Methoden zur Bestimmung von Strömen und Spannungen in einem Netzwerk mit nichtlinearer Widerständen vermittelt [2].

Wechselstromnetzwerke enthalten Quellen, deren Leerlaufspannung u_L (t) oder deren Kurzschlußstrom i_K (t) harmonische Schwingungen ohne Oberwellen sind. Enthält das Netzwerk außer diesen Quellen nur nichtlineare Wirkwiderstände, so kann die Analyse in jedem Zeitpunkt nach den Verfahren aus Kapitel 3 durchgeführt werden. Dabei entstehen für die Widerstände Spannungen u(t) und Ströme i(t), die nicht mehr nur die Frequenzen der Quellen enthalten, sondern auch deren Oberwellen und Kombinationsfrequenzen. Im allgemeinen besitzt das Netzwerk aber auch Induktivitäten und Kapazitäten. Dann liefern die nach wie vor für jeden Zeitpunkt gültigen Kirchhoff’schen Regeln Σu = 0 und Σi = 0 nichtlineare Differentialgleichungen. Die Analyse besteht im Finden der stationären Lösung dieses Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen, die das Netzwerk kennzeichnen. Um auch hier möglichst viel von der Analyse linearer Netzwerke übernehmen zu können, versucht man, die nichtlinearen Bauelemente durch lineare zu ersetzen, für die die Aussteuerung ihrer nichtlinearen Kennlinie festliegt. Während bei Gleichstromnetzwerken nur die Kenntnis des Arbeitspunktes auf der nichtlinearen Kennlinie erforderlich ist, um das nichtlineare Bauelement durch ein äquivalentes lineares zu ersetzen, benötigt man bei Wechselstromnetzwerken die Kenntnis des zeitlichen Verlaufs der Aussteuerung der nichtlinearen Kennlinie.

Das Einschwingverhalten der Ströme und Spannungen in linearen Schaltungen läßt sich durch lineare Differentialgleichungen beschreiben. Die Lösung setzt sich zusammen aus den Lösungen der homogenen Differentialgleichung und der partikulären Lösung für die Störungsfunktion. Diese Trennung in Ausgleichsvorgang und stationäre Lösung ist bei Schaltungen mit nichtlinearen Bauelementen, die durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben werden, nicht möglich.

In der Systemtheorie wird die Aufgabe gelöst, wie ein Übertragungsglied an seinem Ausgang auf ein Signal antwortet, das auf seinen Eingang gegeben wird. In der linearen Systemtheorie wird das Übertragungsglied durch eine Gewichtsfunktion beschrieben. Die Ausgangsfunktion entsteht durch Faltung dieser Gewichtsfunktion mit der Eingangsfunktion. Die Gewichtsfunktion ist die Impulsantwortfunktion des Übertragungsgliedes. Ihre Fouriertransformierte ist der Übertragungsfaktor. Das Übertragungsglied wird rückwirkungsfrei angenommen, d.h. der Abschlußwiderstand des Übertragungsgliedes hat keinen Einfluß auf die Gewichtsfunktion bzw. den Übertragungsfaktor.

Die bekannten Aussagen der Leitungstheorie beruhen auf der Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung. Sie beschreiben den elektromagnetischen Zustand auf der Leitung und an ihrem Anfang und Ende durch Angaben über die ort- und zeitabhängigen Werte der Spannung und des Stromes. Sie leisten dies sowohl für die Einschwingvorgänge als auch für die stationären Zustände.

Die lineare Vierpoltheorie ist in ihrer Darstellung der linearen Leitungstheorie verwandt. Daher gibt es bisher, wie für Leitungen mit nichtlinearen Eigenschaften, keine entsprechenden Darstellungen für Vierpole mit nichtlinearen Eigenschaften.

In diesem Kapitel soll gezeigt werden, wie nichtlineare Bauelemente zur Erzeugung bestimmter Vorgänge benutzt und benötigt werden. Solche Vorgänge sind: Dabei sind die Anwendungsbeispiele nicht nach ihrer Bedeutung ausgewählt. Sondern an diesen Beispielen sollen mögliche Berechnungsmethoden behandelt werden. Daher bestimmt die Darstellung der Methoden die Auswahl der Beispiele. Es kommen auch recht unbedeutende Beispiele vor, an denen aber bestimmte Methoden deutlich gemacht werden können.

Während in Kap. 9 die Anwendungen nichtlinearer Bauelemente dargestellt wurden, sollen in diesem Kapitel die Verzerrungen als unerwünschte Folgen nichtlinearen Verhaltens von Bauelementen behandelt werden. Für Verstärker, Modulatoren und Demodulatoren werden lineare Kennlinien angestrebt. Das gelingt jedoch nur mit mehr oder weniger guter Näherung. Im allgemeinen lassen sich aber diese Nichtlinearitäten hinreichend genau schon durch eine Potenzkennlinie, die nach dem quadratischen oder kubischen Glied abgebrochen werden kann, erfassen. Durch nichtlineare Kennlinien entstehen Oberwellen und Kombinationsfrequenzen, die das Signal verzerren. Diese Erscheinungen sollen im Kap. 10.1 betrachtet werden. Beim Auftreten nichtlinearer Verzerrungen in Frequenzmultiplexsystemen entsteht Nebensprechen zwischen den Kanälen, das in Kap. 10.2 behandelt werden soll. In Kap. 10.3 soll gezeigt werden, daß es durch geeignete Gegenkopplung möglich ist, gedächtnisbehaftete nichtlineare Systeme zu linearisieren.

Eine nichtlineare Kennlinie y = f(x) verändert die Wahrscheinlichkeits-dichteverteilung w(x) der Eingangsgröße x. Es gilt für die Verteilungsdichte v(y) der Ausgangsgröße y Daraus folgt Bild 11.1 zeigt für einige Kennlinien f(x), wie sich aus w(x) die neue Verteilungsdichte v(y) bzw. die Verteilung \( \int\limits_{ - \infty }^y {v\left( \eta \right)} \,d\eta \) ergibt.