Numerik 3x9

Die Numerik ist mit der praktischen Berechnung mathematischer Objekte wie Eigenwerten, Integralen oder Lösungen linearer Gleichungssysteme befasst. Diese Objekte sind im Allgemeinen nicht durch geschlossene Formeln darstellbar und müssen mit Hilfe geeigneter Verfahren approximiert werden. Zur Entwicklung effizienter Verfahren ist eine Beurteilung verschiedener Fehlerquellen erforderlich.

Störungen der rechten Seite eines linearen Gleichungssystems führen auf Störungen der Lösung. Zur Quantifizierung dieses Effekts wird der Begriff der Operatornorm und der darauf basierende Begriff der Konditionszahl einer Matrix definiert.

Lineare Gleichungssysteme lassen sich effizient lösen, wenn die Systemmatrix eine Dreiecksgestalt besitzt oder als Produkt von Dreiecksmatrizen vorliegt. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Matrix können entsprechende Faktorisierungen explizit bestimmt werden.

Die direkte praktische Umsetzung des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann zu fehlerhaften Resultaten führen, wenn im Laufe der Berechnungen kleine Zahlen auftreten. Um dies zu vermeiden, müssen zusätzliche Zeilenvertauschungen durchgeführt werden. Das resultierende numerische Verfahren führt auf eine verallgemeinerte Faktorisierung in Dreiecksmatrizen.

Die wiederholte Durchführung eines Experiments zur Bestimmung eines physikalischen Zusammenhangs führt in der Regel auf ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem. Durch die Betrachtung eines damit verbundenen Ausgleichsproblems kann eine verallgemeinerte Lösung des Gleichungssystems bestimmt werden. Die praktische Berechnung lässt sich effizient durch die Faktorisierung von Matrizen in eine Rotations- und eine Dreiecksmatrix durchführen.

Verallgemeinerte Lösungen überbestimmter linearer Gleichungssysteme lassen sich mit Hilfe der Pseudoinversen einer Matrix, die den Begriff der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen erweitert, darstellen. Zur Bestimmung der Pseudoinversen werden Eigenwerte einer assoziierten symmetrischen, positiv semidefiniten Matrix verwendet.

Die Optimierung von Transport- oder Produktionskosten führt auf die Minimierung einer linearen Abbildung unter der Berücksichtigung gewisser Nebenbedingungen. Die exakte Bestimmung einer Lösung kann durch Betrachten der Ecken der zulässigen Menge erfolgen und führt auf die Konstruktion des Simplex-Verfahrens.

Die Bestimmung der Eigenwerte einer quadratischen Matrix ist ein anspruchsvolles mathematisches Problem, dessen sinnvolle Lösbarkeit nur unter Zusatzvoraussetzungen an die Matrix sichergestellt werden kann. Damit verbunden ist die effiziente approximative Berechnung von Eigenwerten.

Eine Verringerung des Aufwands der numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich durch die approximative Lösung erzielen. Entsprechende Verfahren basieren auf der äquivalenten Darstellung des Gleichungssystems als Fixpunktgleichung. Die Konvergenz daraus resultierender iterativer Verfahren wird im Kontext des Banachschen Fixpunktsatzes und mittels geeigneter struktureller Voraussetzungen an die Systemmatrix untersucht.

Mit Hilfe des Differenzials einer Abbildung lässt sich der Begriff der Konditionszahl auf allgemeine mathematische Aufgaben erweitern. Gleitkommazahlen definieren technisch realisierbare Teilmengen reeller Zahlen. Ihre besondere Anordnung garantiert, dass der relative Rundungsfehler uniform durch die sogenannte Maschinengenauigkeit beschränkt ist. Verschiedene Stabilitätsbegriffe für numerische Verfahren werden mit der Konditionszahl der zugrundeliegenden mathematischen Aufgabe in Verbindung gebracht.

Ein Zugang zur näherungsweisen Darstellung von Funktionen auf Computern besteht in der Approximation mit Polynomen, die durch vorgegebene Interpolationspunkte verlaufen. Der dabei auftretende Approximationsfehler lässt sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes darstellen und beschränken. Durch Hinzunahme weiterer Interpolationsbedingungen oder eine Optimierung der Wahl der Interpolationspunkte kann die Approximationsgüte verbessert werden.

Um hohe Polynomgrade bei der Approximation von Funktionen durch Polynome zu vermeiden, wird der Definitionsbereich partitioniert. Geeignete Übergangsbedingungen an den Schnittstellen garantieren Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der zusammengesetzten lokalen Interpolationspolynome.

In der Realität auftretende Funktionen besitzen häufig besondere Eigenschaften, beispielsweise dass sie als Überlagerungen gewisser Grundschwingungen auftreten. Die diskrete Fourier-Transformation liefert eine Darstellung diskreter Signale als Kombination von Sinus-Schwingungen, was in vielen Fällen zu einer signifikanten Datenkompression führt. Eine geeignete Verwendung von Additionstheoremen erlaubt die Konstruktion eines schnellen numerischen Verfahrens zur Berechnung der Darstellung.

Die Konstruktion des Riemann-Integrals motiviert die numerische Approximation des Integrals einer Funktion durch eine Partitionierung des Integrationsbereichs und Auswertungen des Integranden an Punkten in den Teilintervallen. Geeignete Wahlen der Quadraturpunkte führen unter Differenzierbarkeitsannahmen an den Integranden zu schnell konvergenten numerischen Verfahren.

Nichtlineare Probleme treten bei der Nullstellensuche oder Minimierung einer gegebenen Funktion auf. In eindimensionalen Situationen führen Verallgemeinerungen des Bisektionsverfahrens auf numerische Approximationsmethoden. In mehrdimensionalen Situationen lassen sich Such- oder Abstiegsrichtungen durch Gradienten der Funktion konstruieren und führen auf das Newton- und Gradientenverfahren.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems lässt sich äquivalent als quadratisches Minimierungsproblem formulieren. Durch eine geeignete Modifikation der Abstiegsrichtung im Gradientenverfahren wird im Fall einer symmetrischen und positiv definiten Systemmatrix eine erhebliche Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit nachgewiesen.

In Anwendungen treten häufig lineare Gleichungssysteme mit vielen Unbekannten und nur wenigen von Null verschiedenen Einträgen in der Systemmatrix auf. In diesen Fällen lassen sich iterative Verfahren besonders effizient realisieren, sofern ein geeignetes komprimiertes Speicherformat für die Matrix verwendet wird. Lässt sich zudem eine einfache näherungsweise inverse Matrix konstruieren, so führt eine Erweiterung des Verfahrens der konjugierten Gradienten auf nahezu optimale numerische Methoden.

Die Konzepte der Interpolation eindimensionaler Funktionen lassen sich nur in besonderen Fällen auf Funktionen mehrerer Veränderlicher verallgemeinern. Ein flexibler Zugang besteht in der Partitionierung des Definitionsbereichs in Dreiecke oder Tetraeder und der Verwendung lokal polynomialer Funktionen.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen eignen sich zur mathematischen Beschreibung zeitlich veränderlicher Vorgänge wie beispielsweise dem Verhalten von Populationszahlen, Schwingungsvorgängen oder der Wirkung von Beschleunigungskräften. Durch die Einführung von Hilfsvariablen können Differenzialgleichungen auf Systeme erster Ordnung reduziert werden. In einigen Spezialfällen lassen sich Lösungen explizit durch geschlossene Formeln angeben.

Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen wird unter geeigneten Voraussetzungen an die Problemdaten im Rahmen des Satzes von Picard-Lindelöf mittels einer Fixpunktformulierung nachgewiesen. Eine Aussage über die Auswirkungen von Störungen der Daten liefert das Lemma von Gronwall.

Einfache Verfahren zur numerischen Approximation von Lösungen gewöhnlicher Differenzialgleichungen resultieren aus der Annäherung der Zeitableitung durch Differenzenquotienten oder allgemeiner durch die Verwendung geeigneter Taylor-Polynome. Eine Aussage über den Fehler der numerischen Lösung folgt aus Konsistenzeigenschaften eines Verfahrens mit Hilfe eines diskreten Gronwall-Lemmas.

Runge-Kutta-Verfahren sind durch die Approximation der Integraldarstellung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung motiviert und definieren einen abstrakten Rahmen zur Konstruktion und Analyse von Einschrittverfahren.

Mehrschrittverfahren vermeiden eine hohe Anzahl von Funktionsauswertungen bei der Realisierung numerischer Verfahren durch die Hinzunahme mehrerer zurückliegender Zeitschritte und der zugehörigen bereits bestimmten Approximationen. Die für die höheren Konsistenzeigenschaften impliziter Verfahren erforderliche Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme in jedem Zeitschritt lässt sich durch eine geeignete Kombination mit expliziten Mehrschrittverfahren vermeiden.

Im Gegensatz zu Einschrittverfahren ist für die asymptotische Konvergenz von Mehrschrittverfahren eine zusätzliche Stabilitätseigenschaft erforderlich, die die Beschränktheit von Approximationslösungen sicherstellt. Diese Bedingung lässt sich durch die Betrachtung der Eigenwerte der Begleitmatrix eines Mehrschrittverfahrens beurteilen.

Explizite numerische Verfahren zur Lösung linearer gewöhnlicher Differenzialgleichungen führen auf suboptimale Ergebnisse, wenn die Eigenwerte der Systemmatrix negativ sind und stark variieren. Der Begriff der Stabilitätsfunktion erlaubt eine Klassifizierung der Stabilitätseigenschaft numerischer Verfahren.

Besonders effiziente numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen lassen sich durch die Verwendung variabler Schrittweiten konstruieren. Ansätze zur Anpassung der Schrittweiten basieren auf a-posteriori Fehlerabschätzungen und der Verwendung von Kontrollverfahren.

Hamiltonsche Systeme sind spezielle gewöhnliche Differenzialgleichungen zur Beschreibung physikalischer Systeme, in denen Gesamtimpuls und -energie erhalten bleiben. Der Begriff des symplektischen Verfahrens definiert eine Klasse numerischer Verfahren, die diese Erhaltungseigenschaften approximativ erfüllen. Schießverfahren beschreiben Ansätze zur numerischen Lösung von Randwertproblemen mittels numerischer Verfahren für Anfangswertprobleme. Durch die Verwendung unstetiger Näherungslösungen lassen sich flexible numerische, sogenannte diskontinuierliche Galerkin-Verfahren konstruieren.

Zu jedem der neun Kapitel zur numerischen linearen Algebra werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Zu jedem der neun Kapitel zur numerischen Analysis werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Zu jedem der neun Kapitel zur Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen werden zehn theoretische und einige praktische Aufgaben formuliert.

Die wichtigsten Ergebnisse der linearen Algebra wie Skalarprodukt von Vektoren, Determinante einer Matrix, Bild und Kern einer linearen Abbildung, Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit sowie Jordansche Normalform werden zusammengefasst und mit Beispielen illustriert.

Die wichtigsten Ergebnisse der Analysis wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Mittelwertsatz, Taylor-Polynome, Landau-Symbole, Fundamentalsatz und mehrdimensionale Differenzialrechnung werden zusammengefasst und mit Beispielen illustriert.

Die wichtigsten Befehle und Konzepte der Programmiersprache C werden erklärt und mit Beispielen illustriert.

Die wichtigsten Befehle und Konzepte des Programmpakets Matlab werden erklärt und mit Beispielen illustriert.

Für die Lösung eines linearen Gleichungssystems mittels einer LU-Zerlegung, die Auswertung eines Interpolationspolynoms durch das Neville-Schema und die numerische Lösung einer gewöhnlichen Differenzialgleichung mit dem impliziten Euler-Verfahren werden Implementationen in C und Matlab vorgestellt.