6. Numerische Eigenwertberechnung – Einschließen und Approximieren

Die in der Mechanik im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie vorgenommene Modellierung von Brückenkonstruktionen führt auf ein Eigenwertproblem, bei dem die Brückenschwingung unter Kenntnis aller Eigenwerte und Eigenvektoren vollständig beschrieben werden kann. Generell charakterisieren die Eigenwerte sowohl die Eigenschaften der Lösung eines mathematischen Modells als auch das Konvergenzverhalten numerischer Methoden auf ganz zentrale Weise. So haben wir bereits bei der Analyse linearer Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen nachgewiesen, dass der Spektralradius als Maß für die Konvergenzgeschwindigkeit und Entscheidungskriterium zwischen Konvergenz und Divergenz fungiert. Bei derartigen Methoden sind wir folglich am Betrag des betragsmäßig größten Eigenwertes der Iterationsmatrix interessiert. Alle Eigenwerte und Eigenvektoren sind dagegen z. B. notwendig, um die Lösungsschar linearer Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen angeben zu können. Gleiches gilt für die Lösung linearer hyperbolischer Systeme partieller Differenzialgleichungen. Hier kann der räumliche und zeitliche Lösungsverlauf mithilfe einer Eigenwertanalyse der Matrix des zugehörigen quasilineareren Systems beschrieben werden. Die Betrachtung verschiedenster gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungssysteme zeigt, dass viele Phänomene wie die Populationsdynamik von Lebewesen, die Ausbildung von Verdichtungsstößen, der Transport von Masse, Impuls und Energie und letztendlich sogar die Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Tsunamis durch die Eigenwerte des zugrunde liegenden Modells respektive ihrem Verhältnis zueinander festgelegt sind.

Die Berechnung von Eigenwerten über die Nullstellenbestimmung des charakteristischen Polynoms ist bereits bei sehr kleinen Matrizen in der Regel nicht praktikabel. Nach der Vorstellung von Ansätzen zur ersten Lokalisierung von Eigenwerten werden wir uns im Folgenden mit zwei Verfahrensklassen zur näherungsweisen Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren befassen. Die erste Gruppe umfasst Methoden zur Vektoriteration, während die zweite Klasse stets auf einer Hauptachsentransformation der Matrix zur Überführung in Diagonal- oder obere Dreiecksgestalt beruht.