Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Die extrem gestiegenen Risiken an den Finanzmärkten haben den Begriff Risiko und Risikomessung in der Bankenpraxis in das Zentrum der Betrachtung gestellt. Nahezu jede Bank entwickelt ein eigenes Risikokontrollsystem, um die Risiken der durchgeführten Geschäfte zu messen und auf das haftende Eigenkapital zu begrenzen. Dabei steht der Value at Risk (VaR) als Methode klar im Vordergrund. Die entsprechenden VaR-Methoden zur Risikomessung beruhen meistens auf vereinfachenden Annahmen, um den Aufwand der durchzuführenden Berechnungen überschaubar zu halten. Das liegt zum Teil in der Anerkennung dieser Methoden zur Erfüllung der bankaufsichtsrechtlichen Regelungen des Kreditwesengesetzes begründet, die auch von kleineren Banken erfüllt werden müssen. Die internen sowie gesetzlichen Methoden zur Risikomessung beschränken sich meistens auf tägliche Halteperioden. Für die interne Betrachtung sind längere Zeithorizonte aber aufgrund vieler langfristig ausgerichteter Geschäfte der Banken zusätzlich wichtig.

Marco Neumann

Kapitel 2. Risikomessung in der Bankpraxis

Zusammenfassung

Die korrekte Messung und Begrenzung von Bankrisiken hat in den letzten Jahren starke Bedeutung gewonnen. Das zeigt sich insbesondere in der Neufassung der bankaufsichtsrechtlichen Regelungen nach der 6. Novelle des Kreditwesengesetzes, aber auch in den durch Firmen wie JPMorgan (Risk Metrics) oder Bankers Trust (RAROC) vorgeschlagenen Methoden zur internen Messung von Bankrisiken. In Abschnitt 2.1 wird eine Systematisierung der im Bankgeschäft vorhandenen Risiken durchgeführt, um zu zeigen, welche Risikoarten überhaupt sinnvoll quantifiziert werden können. In Abschnitt 2.2 wird dann gezeigt, wie Marktpreisrisiken durch Anwendung des Value at Risk Konzeptes erfaßt werden können. Beim vorgestellten Value at Risk Konzept werden sehr restriktive Annahmen hinsichtlich der Preisentwicklung und der Bewertungsgleichungen der Wertpapiere, insbesondere bei Optionen, getroffen. Diese Schwächen des Value at Risk sowie Angriffspunkte zur Verbesserung der Vorgehensweise werden in Abschnitt 2.3 zusammengefaßt. Das vorliegende Kapitel bildet somit den Ausgangspunkt zur Verbesserung des Value at Risk Konzeptes im weiteren Verlauf der Arbeit.

Marco Neumann

Kapitel 3. Arbitrageorientierte Bewertung in einer diskreten Modellökonomie

Zusammenfassung

Die Bewertung beliebiger Zahlungsmuster kann im einfachsten Fall in einer zeit- und zustandsdiskreten Modellökonomie betrachtet werden. Die prinzipiellen Zusammenhänge und Bewertungsmechanismen können hier intuitiv dargestellt werden, ohne den Blick durch mathematische Feinheiten zu erschweren. Die Darstellung orientiert sich an Duffie (92) [58] und Dothan (90) [56]. Es werden lediglich die wesentlichen Erkenntnisse der arbitrageorientierten Bewertung zusammengefaßt, da eine ausführliche Darstellung bereits beispielsweise bei DeMunnik (92) [145], Schlag (95) [175], Madjlessi (96) [131], Böhmer (96) [8] und Schlag (97) [174] zu finden ist. Das Kapitel beginnt in Abschnitt 3.1 mit der Grundidee arbitrageorientierter Bewertung. Die formale Umsetzung dieser Bewertungstechnik erfolgt dann in Abschnitt 3.2, zunächst im Rahmen einer einperiodigen Modellökonomie. Die gewonnenen Erkenntnisse werden dann in Abschnitt 3.3 auf eine mehrperiodige Ökonomie übertragen. Um die Komplexität des Modells zu begrenzen, beschränkt sich die Betrachtung in Abschnitt 3.3.1 auf eine binomiale mehrperiodige Ökonomie bzw. in Abschnitt 3.3.2 auf Varianten des bekannten Binomialmodells. Das Binomialmodell bildet dann die Grundlage für die Bewertung von Optionen in Kapitel 4 und die Risikomessung in Kapitel 5.

Marco Neumann

Kapitel 4. Die Bedeutung von Preisprozeß und Verteilung für die Bewertung von Optionen

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel wird die Eignung des verallgemeinerten Binomialmodells zur Bewertung von Optionen untersucht. Dazu werden zunächst in Abschnitt 4.1 die empirisch bedingten Anforderungen an ein Optionspreismodell aufgrund bisheriger Erfahrungen in der Literatur gesammelt. In Abschnitt 4.2 wird dann überprüft, welche Variante des Binomialmodells diese Anforderungen erfüllt. Aufgrund der Bedeutung der Fälligkeitsverteilung werden dann in Abschnitt 4.3 die Eigenschaften der zum verallgemeinerten Binomialmodell kompatiblen gemischten Binomialverteilung untersucht.

Marco Neumann

Kapitel 5. Risikomessung im Binomialmodell

Zusammenfassung

In Kapitel 2 wurden die in der Bankpraxis üblichen Methoden zur Messung der Preisrisiken bei Wertpapieren und Optionen vorgestellt. Da diese Methoden als Bestandteil der bankaufsichtsrechtlichen Regelungen zur Kontrolle der Eigenkapitalausstattung von Kreditinstituten vorgesehen sind, mußten vereinfachende Annahmen getroffen werden, um die Methoden praktikabel zu gestalten. Um die Auswirkungen dieser Annahmen korrekt überprüfen zu können, wurde in Kapitel 3 der formale Modellrahmen betrachtet, in dem die Risikomessung erfolgen soll. Eine aus Marktsicht (und aus Sicht der Aufsichtsbehörde) objektive Risikomessung kann nur unabhängig von individuellen Präferenzparametern erfolgen. Deshalb beschränkt sich die Betrachtung auf eine arbitrageorientierte Modellumgebung, bei der die Preise der risikotheoretisch zu beurteilenden Wertpapiere am Markt entweder beobachtet oder aus den Basiswertpapierpreisen dupliziert werden können. Damit die empirischen Eigenschaften von Optionen korrekt abgebildet werden, muß als Modellrahmen das verallgemeinerte Binomialmodell herangezogen werden (vgl. Kapitel 4). Das verallgemeinerte Binomialmodell zeichnet sich durch eine flexible Wertpapierpreisverteilung aus, so daß die Meßfehler aufgrund der restriktiven Normal- bzw. Lognormalverteilung vermieden werden. Die in Kapitel 4 dargestellten Bewertungsprobleme bei parametrischer Verteilungsannahme (beim Black/Scholes Modell) führen bei der Risikomessung grundsätzlich zu den gleichen Problemen. Im Unterschied zur Optionsbewertung interessiert bei der Berechnung des Value at Risk aber nur die Wahrscheinlichkeit von Kursverlusten, also die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse im unteren Quantil. Aufgrund des bereits erwähnten fat tail Problems kann die Anwendung einer falschen Verteilung zu großen Fehlern bei der Risikoabschätzung führen. Melick/Thomas (97) [141] betrachten die Verteilung der Ölpreise während der Golfkrise im Oktober 1990 und zeigen, daß bei Verwendung einer Lognormalverteilung die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt einer Ölkrise (steigende Ölpreise) im Vergleich zur Marktverteilung’ zwar überschätzt, der erwartete Ölpreis bei Eintritt der Krise aber unterschätzt wird. Ursache dieser Fehleinschätzung ist die Unimodalität der Lognormalverteilung, wodurch die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse in den Verteilungsenden nur fehlerhaft wiedergegeben wird. Die Berechnung des Value at Risk im Binomialmodell wird in Abschnitt 5.1 dargestellt. Dabei wird untersucht, ob die risikoneutrale oder die subjektive Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Risikomessung verwendet werden muß. Da die Risikoeinstellung der Ökonomie durch die likelihood ratio abgebildet wird, erscheint die Verwendung der risikoneutralen Verteilung zur Berechnung des VaR als sinnvoll.

Marco Neumann

Kapitel 6. Methoden zur Ermittlung der risikoneutralen Wertpapierpreisverteilung

Zusammenfassung

Nachdem in Kapitel 4 und Kapitel 5 die Bedeutung der korrekten Wertpapierpreisverteilung bei der Bewertung von Optionen und der Messung von Preisrisiken diskutiert wurde, sollen die zugehörigen Methoden zur empirischen Ermittlung dieser Verteilung betrachtet werden. Grundsätzlich stehen zwei Vorgehensweisen bei der Verteilungsermittlung zur Verfügung. Zum einen kann aus der Zeitreihe der realisierten Wertpapierpreise oder Renditen eine historische Verteilung ermittelt werden. Da diese mit den subjektiven Eintrittswahrscheinlichkeiten der Investoren übereinstimmt (es wurde keine Maßtransformation durchgeführt, folglich ist es keine risikoneutrale Verteilung), wird diese mit P bezeichnet. Zum anderen kann über den arbitrageorientierten Bewertungszusammenhang zwischen Underlying und Derivaten eine implizite Verteilung bestimmt werden. Da der Bewertungszusammenhang Ergebnis der Maßtransformation ist, stimmt die Verteilung mit den risikoneutralen Eintrittswahrscheinlichkeiten überein und wird mit Q bezeichnet.

Marco Neumann

Kapitel 7. Methoden zur Ermittlung des Impliziten Preisprozesses

Zusammenfassung

Im letzten Kapitel wurde gezeigt, wie aus beobachteten Marktpreisen in t die risikoneutrale Verteilung der Underlyingpreise in T berechnet werden kann. Dazu mußte man lediglich die Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten am Markt unterstellen. Den Verhaltensweisen der Marktteilnehmer wird also lediglich die Ausnutzung von Arbitragemöglichkeiten und damit deren Beseitigung unterstellt. Ergebnis des Handels sind die Marktpreise und die daraus berechnete risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese kann deshalb als eine Momentaufnahme der gegenwärtig von den Marktteilnehmern erwarteten Ausprägungen der Underlyingpreise nach Ablauf des Zeitraumes (T − t) interpretiert werden. Mit dieser sind Aussagen möglich, wie

„die Wahrscheinlichkeit, daß der Marktpreis in T unter 200 DM fällt, beträgt 5 %“ oder
„die Standardabweichung der Underlyingpreise für den Zeitraum (T − t) beträgt 0,02“.

Marco Neumann

Kapitel 8. Empirische Untersuchung

Zusammenfassung

In den folgenden Kapiteln wird empirisch geprüft, ob die theoretisch abgeleiteten Modelle zur Optionsbewertung bzw. die Methoden zur Bestimmung des VaR für den deutschen Finanzmarkt geeignet sind. Ziel der Untersuchung ist zunächst die Identifikation eines Verteilungstyps, der die Verteilung der Wertpapierpreise korrekt beschreibt. Zur Auswahl eines geeigneten Verteilungstyps wird die Bewertungsgüte der mit den Verteilungsannahmen verbundenen Optionspreismodelle anhand der DAX-Option geprüft. Die ermittelte Verteilung wird dann zur Berechnung des VaR verwendet. Dabei wird auf die restriktiven Verteilungs- und Approximationsannahmen, die bei den praxisorientierten VaR Methoden getroffen werden, verzichtet. Der Vergleich der berechneten VaRs ermöglicht die Quantifizierung der mit den vereinfachenden Annahmen verbundenen Auswirkungen auf den Value at Risk.

Marco Neumann

Kapitel 9. Zusammenfassung und Ausblick

Zusammenfassung

Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit ist die Feststellung, daß die Messung von Risiken eine korrekte Bewertung der betrachteten Wertpapiere voraussetzt. Risikomessung sollte also grundsätzlich in einem formal korrekten Modellrahmen erfolgen und nicht als rein statistische Vorgehensweise wie bei den praxisorientierten Methoden zur Berechnung des Value at Risk (Kapitel 2) gesehen werden. In Kapitel 3 wird deshalb als Ausgangspunkt ein arbitrageorientierter diskreter Modellrahmen vorgestellt. Eine arbitrageorientierte Ökonomie setzt zwar die Handelbarkeit und die Beobachtbarkeit der Preise von Basiswertpapieren voraus, beruht ansonsten aber nur auf den minimalen Annahmen des law of one price und der Nichtsättigung der Investoren. Die konkrete Ausgestaltung der Modellökonomie erfolgt vor dem Hintergrund der in der Literatur bisher dokumentierten Erfahrungen zur Optionsbewertung, die in Kapitel 4 genannt werden. Zur korrekten Bewertung von Optionen sollte ein Modell konsistent zu einer vorgegebenen Laufzeit- und Basispreisstruktur der Volatilität spezifiziert werden können. Während der Laufzeiteffekt durch eine restriktive Preisprozeßannahme entsteht, kann die Ursache des Basispreiseffektes auf eine realitätsferne Verteilungsannahme zurückgeführt werden. Die empirisch beobachtete Schiefe und die dicken Verteilungsenden der impliziten Wertpapierpreisverteilung sowie eine im Zeitablauf veränderliche Volatilität führen also zu konkreten Anforderungen an ein Optionspreismodell. Unter den betrachteten Varianten des Binomialmodells, des Binomialmodells von Cox/Ross/Rubinstein, des Poisson Binomialmodells und des verallgemeinerten Binomialmodells, erfüllt nur das zuletzt genannte Modell diese Voraussetzungen.

Marco Neumann

Springer Professional

Optionsbewertung und Risikomessung mit impliziten Binomialbäumen

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Kapitel 2. Risikomessung in der Bankpraxis

Kapitel 3. Arbitrageorientierte Bewertung in einer diskreten Modellökonomie

Kapitel 4. Die Bedeutung von Preisprozeß und Verteilung für die Bewertung von Optionen

Kapitel 5. Risikomessung im Binomialmodell

Kapitel 6. Methoden zur Ermittlung der risikoneutralen Wertpapierpreisverteilung

Kapitel 7. Methoden zur Ermittlung des Impliziten Preisprozesses

Kapitel 8. Empirische Untersuchung

Kapitel 9. Zusammenfassung und Ausblick

Backmatter