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2020 | OriginalPaper | Chapter

11. Plastizität

Authors : Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel, Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner

Published in: Eindimensionale Finite Elemente

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Im Rahmen dieses Kapitels werden zuerst die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Verfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige, monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist die Beschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt, die zum Beispiel beim einachsigen Zugversuch mit monotoner Belastung auftritt. Zur Integration des elasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle Prädiktor-Korrektor-Verfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten und des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entscheidenden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensionaler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleiteten Verfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten. Durchgerechnete Beispiele und weiterführende Aufgaben mit Kurzlösungen dienen zur Einübung der theoretischen Beschreibung.

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Footnotes
1
Geschwindigkeitsgleichungen (rate equations).
 
2
Der Fall der Entlastung beziehungsweise Lastumkehr soll aus Gründen der Vereinfachung hier nicht betrachtet werden.
 
3
Ist die Einheit des Fließkriteriums gleich der Sapnnung, so stellt \(f(\sigma)\) die Vergleichsspannung oder effektive Spannung dar. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall gilt unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungstensors \(\sigma_{\text{eff}}:(\mathbb{R}^{6}\rightarrow\mathbb{R}_{+})\).
 
4
Im allgemeinen dreidimensionalen Fall bestimmt \(r\) hierbei die Richtung des Vektors \(\mathrm{d}\boldsymbol{\varepsilon}^{\text{pl}}\), während der skalare Faktor \(\mathrm{d}\lambda\) den Betrag des Vektors festlegt.
 
5
Eine formal alternative Ableitung der assoziierten Fließregel kann mittels der Lagrangeschen Multiplikatorenmethode als Extremwert mit Nebenbedingung aus dem Prinzip der maximalen plastischen Arbeit erfolgen [5].
 
6
Im allgemeinen dreidimensionalen Fall muss der Bildvektor des Zuwachses der plastischen Verzerrungen senkrecht zur Fließfläche stehen und nach außen gerichtet sein, vergleiche Abb. 11.2b.
 
7
Auch Signumfunktion; von lateinisch ‚signum‘ für ‚Zeichen‘.
 
8
Die plastische Vergleichsdehnung oder effektive plastische Dehnung ist im allgemeinen dreidimensionalen Fall die Funktion \(\varepsilon_{\text{eff}}^{\text{pl}}:(\mathbb{R}^{6}\rightarrow\mathbb{R}_{+})\). Im hier betrachteten eindimensionalen Fall gilt: \(\varepsilon_{\text{eff}}^{\text{pl}}=\sqrt{\varepsilon^{\text{pl}}\varepsilon^{\text{pl}}}=|\varepsilon^{\text{pl}}|\). Achtung: Finite-Element-Programme verwenden gegebenenfalls zur Darstellung im Postprocessor die allgemeinere Definition, das heißt \(\varepsilon_{\text{eff}}^{\text{pl}}=\sqrt{\tfrac{2}{3}\sum\Updelta\varepsilon_{ij}^{\text{pl}}\sum\Updelta\varepsilon_{ij}^{\text{pl}}}\), die mittels des Faktors \(\tfrac{2}{3}\) die Querkontraktion bei uniaxialen Spannungsproblemen im plastischen Bereich berücksichtigt. Diese Formel führt jedoch bei rein eindimensionalen Problemen ohne Querkontraktion zu einer um den Faktor \(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx 0.816\) reduzierten Darstellung der plastischen Vergleichsdehnung.
 
9
Hierbei handelt es sich um die volumenspezifische Definition, das heißt \(\left[w^{\text{pl}}\right]=\tfrac{\text{N}}{\text{m}^{2}}\tfrac{\text{m}}{\text{m}}=\tfrac{\text{kg}\,\text{m}}{\text{s}^{2}\text{m}^{2}}\tfrac{\text{m}}{\text{m}}=\tfrac{\text{kg}\,\text{m}^{2}}{\text{s}^{2}\text{m}^{3}}=\tfrac{\text{J}}{\text{m}^{3}}\).
 
10
Im allgemeinen dreidimensionalen Fall spricht man von elasto-plastischer Stoffmatrix \(\boldsymbol{C}^{\text{elpl}}\).
 
11
Im allgemeinen Fall mit sechs Spannungs-und Dehnungskomponenten (unter Berücksichtigung der Symmetrie des Spannungs- und Verzerrungstensors) besteht nur ein eindeutiger Zusammenhang zwischen effektiver Spannung und effektiver plastischer Dehnung. Im eindimensionalen Fall reduzieren sich diese effektiven Größen jedoch zu: \(\sigma_{\text{eff}}=|\sigma|\) und \(\varepsilon_{\text{eff}}^{\text{pl}}=|\varepsilon^{\text{pl}}|\).
 
12
Das explizite Euler-Verfahren oder Polygonzugverfahren (auch Euler-Cauchy-Verfahren) ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertprob-lems. Der neue Spannungszustand ergibt sich nach diesem Verfahren zu \(\sigma_{n+1}=\sigma_{n}+E^{\text{elpl}}_{n}\Updelta\varepsilon\), wobei das Anfangswertproblem als \(\tfrac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\varepsilon}=E^{\text{elpl}}(\sigma,\varepsilon)\) mit \(\sigma(\varepsilon_{0})=\sigma_{0}\) angegeben werden kann.
 
13
Im allgemeinen dreidimensionalen Fall wird die Beziehung auf den Spannungsvektor und das Inkrement des Dehnungsvektors angewandt: \(\boldsymbol{\sigma}_{n+1}^{\text{trial}}=\boldsymbol{\sigma}_{n}+\boldsymbol{C}\Updelta\boldsymbol{\varepsilon}_{n}\).
 
14
An dieser Stelle soll formal in der Schreibweise von \(\mathrm{d}\lambda\) nach \(\Updelta\lambda\) übergegangen werden. Somit erfolgt hier der Übergang von der differentiellen zur inkrementellen Schreibweise.
 
15
von lateinisch ’residuus’ für rückständig oder übriggeblieben.
 
16
Für eine eindimensionale Funktion \(f(x)\) wird das Newtonsche-Verfahren üblicherweise wie folgt angesetzt: \(x^{(i+1)}=x^{(i)}-\left(\tfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x^{(i)})\right)^{-1}\times f(x^{(i)})\).
 
17
Auch algorithmische Stoffmatrix bezeichnet.
 
18
An dieser Stelle soll von \(\mathrm{d}\lambda\) nach \(\Updelta\lambda\) übergegangen werden.
 
19
Für die hier exemplarisch betrachteten linearen Stabelemente ergibt sich pro Element ein konstanter Verzerrungsverlauf. Im Allgemeinen ergibt sich die Verzerrung als Funktion der Elementkoordinaten, die in der Regel an den Integrationspunkten ausgewertet wird. Daher würde man im allgemeinen Fall pro Element einen Verzerrungsvektor \(\varepsilon\) bestimmen, der die unterschiedlichen Verzerrungswerte an den Integrationspunkten zusammenfasst. Für ein lineares Stabelement ist dies jedoch nicht notwendig, und ein skalarer Verzerrungs- beziehungsweise Spannungswert genügt zur Beschreibung.
 
20
Hierbei wird die Energie pro Einheitsvolumen betrachtet.
 
21
Die Konvexität einer Fließbedingung wird aus dem Druckerschen Stabilitätspostulat abgeleitet [16, 4].
 
22
Diese Ebene muss senkrecht auf der \(\sigma\)-\(|\varepsilon^{\text{pl}}|\)-Ebene stehen. Für einen Zugversuch muss die Ebene durch die Grenzkurve im Bereich \(\sigma> 0\) gehen. Für einen Druckversuch ist die entsprechende Gerade im Bereich \(\sigma<0\) zu wählen.
 
23
Im betrachteten Beispiel mit linearer Verfestigung ist \(\tilde{E}\) im elastischen Bereich (Inkrement 1 bis 3) und im plastischen Bereich (Inkrement 4 bis 10) konstant und somit keine Funktion von \(u_{2}\). Im allgemeinen Fall muss jedoch auch \(\tilde{E}\) differenziert werden.
 
24
Man beachte, dass in beiden Bereichen bzw. Elementen die Spannungen und Verzerrungen identisch sind.
 
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Metadata
Title
Plastizität
Authors
Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel
Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner
Copyright Year
2020
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Eindimensionale Finite Elemente

Print ISBN: 978-3-662-57993-0

Electronic ISBN: 978-3-662-57994-7

Copyright Year: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7_11

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