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2019 | OriginalPaper | Chapter
4. Quadratur – numerische Integrationsmethoden
Authors : Prof. Dr. Andreas Meister, Prof. Dr. Thomas Sonar
Published in: Numerik
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Kapitelzusammenfassung
Neben der Interpolation ist die numerische Berechnung von Integralen, die „Quadratur“, eine weitere wichtige Grundaufgabe der Numerischen Mathematik und sogar älter als das Integral selbst. Schon Archimedes hat die Fläche unter Kurven berechnet, indem er die Fläche durch einfach zu berechnende Teilflächen dargestellt hat. In der modernen Mathematik gilt es, nicht nur elementar nicht berechenbare Integrale numerisch zugänglich zu machen, sondern auch Integrale mit schwierig zu berechnenden Stammfunktionen einfach und schnell anzunähern. Ein Beispiel für die erste Klasse von Integralen finden wir z. B. im Integral
$$\displaystyle\int\mathrm{e}^{-x^{2}}\,\mathrm{d}x,$$
das bei der Normalverteilung eine wichtige Rolle spielt. In der Nachrichtentechnik benötigt man die Integration der sogenannten Sinc-Funktion
$$\displaystyle\int\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x,$$
und auch dieses Integral ist nicht elementar integrierbar. Häufig benötigt man Fourierkoeffizienten, die als Integrale definiert sind, oder Fourier-Transformationen. Auch wenn man diese Integrale elementar integrieren könnte, ist in vielen Fällen der Aufwand so groß, dass man eine Quadraturmethode verwendet. Auch für gebrochen-rationale Funktionen mag der Aufwand bei der Integration durch Partialbruchzerlegung so groß sein, dass man mit einem numerischen Verfahren weitaus besser bedient ist.
Wie schon bei der Interpolation gibt es einen großen Unterschied zwischen eindimensionalen und mehrdimensionalen Integralen. Auf Rechtecken im Zweidimensionalen kann man sich noch mit Produktansätzen von eindimensionalen Quadraturformeln behelfen, aber schon die Integration auf Dreiecken ist nach wie vor ein weit offenes Forschungsfeld, von allgemeineren Integrationsgebieten ganz zu schweigen. Wir werden uns daher auf den eindimensionalen Fall beschränken.