Représentations Monomiales des Groupes de Lie Résolubles Exponentiels

Soit G un groupe de Lie résoluble exponentiel d’algèbre de Lie g. Cela signifie que l’application exponentielle est un difféomorphisme de g sur G: nous le notons $$G\;{\rm{ = }}\;{\rm{exp}}\;g.$$ C’est aux représentations monomiales de G que nous nous intéressons. Soient H un sous-groupe connexe de G et ϰ son caractère unitaire. Le but de cette étude est de décrire dans le cadre de la méthode des orbites la désintégration centrale canonique de la représentation induite τ = ind _H G ϰ. Soit h l’algèbre de Lie de H. Alors il existe $$f\; \in g*,$$ une forme linéaire sur g, telle que f s’annule sur l’algèbre dérivée g,g de h et que ϰ s’écrive $$\chi (\exp \;X)\;{\rm{ = }}\;{e^{if(X)}}\;{\rm{(}}i\;{\rm{ = }}\;{{\rm{( - 1)}}^{1/2}},\;X\; \in \;h).$$ Dans cette situation, ϰ se notera ϰ _f . Après que l’on avait vigoureusement étudié le cas essentiel où g était une polarisation en f, vers ’72 Grélaud [9] et Quint [16] ont mis fin au cas uùh était un idéal g.