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2023 | Book

Einleitung Read chapter Read first chapter

Schadenversicherungsmathematik

Authors: Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Das vorliegende Buch gibt einen Überblick über die Grundlagen der Schadenversicherungsmathematik. Es behandelt in vier Teilen die Gebiete Risikomodelle, Tarifierung, Reservierung, Risikoteilung, und es zeigt auch Querverbindungen zwischen diesen Gebieten auf. Dabei liegt der Schwerpunkt auf der Darstellung und Erklärung der einzelnen Fragestellungen und der zugehörigen mathematischen Modelle und Methoden. Dementsprechend werden Beweise nur ausgeführt, wenn sie für das Verständnis hilfreich sind. Jeder der vier Teile des Buches enthält zahlreiche Aufgaben mit Musterlösungen.

Dieses Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die die Autoren im Auftrag der Deutschen Aktuar-Akademie (DAA) zur Vorbereitung auf die Prüfung der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik gehalten haben. Die Aufgaben beruhen auf Prüfungen der DAV und wurden leicht überarbeitet.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Der Begriff Schadenversicherung ist ein Oberbegriff für eine Vielzahl von Versicherungszweigen. Die Schadenversicherung umfasst alle Zweige der Sachversicherung (die sich entweder auf versicherte Sachen wie Hausrat, Wohngebäude, Kraftfahrzeug oder auf Schadenursachen wie Erdbeben, Feuer, Frost, Hagel, Sturm, Überschwemmung oder auf beides beziehen), aber sie umfasst auch Versicherungszweige wie die Betriebsunterbrechungsversicherung oder die Transportversicherung sowie sämtliche Arten der Haftpflichtversicherung.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Risikomodelle

Frontmatter
Kapitel 2. Grundlagen
Zusammenfassung
Für einen Bestand von Risiken betrachten wir den Gesamtschaden, der sich in einem zukünftigen Versicherungsjahr einstellen wird, und stellen einige allgemeine Überlegungen zum Gesamtschaden an. Wir beginnen mit einer Diskussion der Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens zur Bestimmung einer Prämie für den gesamten Bestand und der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gegebene Prämie nicht ausreichend ist. Wir untersuchen dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Bestimmung einer Prämie und der Wahrscheinlichkeit des Ruins und geben einige Verfahren zur Approximation der Verteilung des Gesamtschadens an. Abschließend beschreiben wir mit der individuellen und der kollektiven Betrachtungsweise zwei grundlegende Möglichkeiten der Darstellung des Gesamtschadens, die es gestatten, Eigenschaften der Verteilung des Gesamtschadens aus denen der Verteilungen der Schadenhöhen und der Anzahl der Schäden abzuleiten.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 3. Individuelles Modell
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der individuellen Betrachtungsweise. Wir betrachten dabei drei Modelle:
  • Im individuellen Grundmodell wird keine Annahme an die Verteilung der jährlichen Schadenhöhen der einzelnen Risiken getroffen.
  • Im individuellen Modell wird angenommen, dass die Schadenhöhen unabhängig sind.
  • Im individuellen Modell für einen homogenen Bestand wird angenommen, dass sie unabhängig und identisch verteilt sind.
Für jedes dieser Modelle bestimmen wir zunächst die ersten Momente des Gesamtschadens und präzisieren dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit des Ruins und der Bestimmung einer ausreichenden Prämie. Für das individuelle Modell geben wir weitere Ergebnisse zum Gesamtschaden an, und für das individuelle Modell für einen homogenen Bestand betrachten wir auch die Asymptotik bei wachsender Größe des Bestandes.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 4. Kollektives Modell
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der kollektiven Betrachtungsweise. Dabei sind nur die Schäden des Bestandes von Interesse, nicht aber die einzelnen Risiken, die diese Schäden verursachen. Wir beginnen mit der Definition des kollektiven Modells und bestimmen in diesem Modell die ersten Momente und die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens. Als nächstes untersuchen wir eine Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Anzahl der Schäden, die es im Fall ganzzahliger Schadenhöhen gestatten, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens rekursiv zu berechnen.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 5. Anwendungen des kollektiven Modells
Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir einige Anwendungen des kollektiven Modells. Als eine erste Anwendung betrachten wir die Modellierung einer vom Gesamtschaden abweichenden Versicherungsleistung für ein Risiko, das eine zufällige Anzahl von Schäden erzeugt und durch ein kollektives Modell beschrieben werden kann. Wir stellen dann mit der Transformation, der Verdünnung und der Zerlegung eines kollektiven Modells allgemeine Prinzipien zur Konstruktion neuer kollektiver Modelle dar, die ihrerseits vielfältige Anwendungen besitzen.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 6. Verallgemeinerungen des kollektiven Modells
Zusammenfassung
Das kollektive Modell besitzt mit dem abstrakten kollektiven Modell und dem dynamischen kollektiven Modell zwei äußerst nützliche Verallgemeinerungen. Wir betrachten zunächst das abstrakte kollektive Modell, in dem die Schadenhöhen durch allgemeine Schadenvariable ersetzt werden, die beispielsweise auch Informationen über das verursachende Risiko enthalten können. Wir geben dann eine kurze Einführung in das dynamische kollektive Modell, mit dem ein Risiko oder ein Bestand von Risiken im zeitlichen Verlauf beschrieben werden kann.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 7. Klausuraufgaben
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zu Risikomodellen und Lösungsvorschläge.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Tarifierung

Frontmatter
Kapitel 8. Grundlagen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stellen wir die Grundlagen der Tarifierung in der Schadenversicherung bereit. Wir erklären zunächst die in der Tarifierung verwendeten Begriffe und insbesondere die verschiedenen Bestandteile der Prämie. Nach einer kurzen Einführung in die Ziele der Tarifierung stellen wir die wichtigsten Prämienprinzipien dar. Abschließend diskutieren wir für den Fall einer Aufteilung der Risiken eines Bestandes in mehrere Risikoklassen einige Methoden zur Schätzung der erwarteten Schadenhöhen der Einzelschäden in den einzelnen Risikoklassen.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 9. Daten und Tarifierungsstatistiken
Zusammenfassung
Dieses Kapitel befasst sich mit einem Charakteristikum der Schadenversicherung, das darin besteht, dass – in Abgrenzung zur Lebensversicherung – große Mengen heterogener Daten zu analysieren, in geeigneten Tarifierungsstatistiken zu erfassen, aufzubereiten und weiter zu verarbeiten sind. Wir Betrachten zunächst Risikomerkmale und Tarifmerkmale und die wichtigsten Kennzahlen der Schadenversicherung. Es folgt eine Einführung in ein weiteres Spezifikum der Schadenversicherung, nämlich das Problem besonders großer Schäden; dabei geht es nicht um diese Großschäden selbst, sondern darum, dass die verschiedenen statistischen Verfahren auf diese Ausreißer unter Umständen sehr empfindlich und unangemessen reagieren. Am Ende dieses Kapitels betrachten wir eine spezielle Aufbereitung von Schadendaten in Form von Prioritätenstatistiken.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 10. Modelle und Statistiken
Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir einen Bestand, der in mehrere Risikoklassen aufgeteilt ist. Wir untersuchen verteilungsfreie und stochastische Modelle der Tarifierung sowie verteilungsfreie und stochastische Ausgleichsverfahren, die dazu dienen, die Nettorisikoprämie für alle Risiken einer gegebenen Tarifzelle aus den Daten dieser Tarifzelle und denen der benachbarten Tarifzellen zu bestimmen. Wir geben zunächst eine Einführung in multiplikative und additive Tarifierungsmodelle und stellen dann für multiplikative Tarifierungsmodelle mehrere verteilungsfreie Ausgleichsverfahren und ein stochastisches Ausgleichsverfahren dar.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 11. Selektion von Risiken
Zusammenfassung
Dieses Kapitel führt zunächst kurz in die Thematik der Selektionseffekte ein und befasst sich dann mit der in der Praxis der Schadenversicherung häufig anzutreffenden Beitragsrückerstattung für den Fall der Schadenfreiheit. Anschließend wird die Modellierung eines heterogenen Bestandes durch einen zufälligen Strukturparameter betrachtet und es werden verschiedene Methoden der sekundären Prämiendifferenzierung (Erfahrungstarifierung) dargestellt; dabei behandeln wir die Bestimmung von Bayes–Prämien und Credibility–Prämien sowie die Ausgestaltung von Bonus–Malus Systemen.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 12. Klausuraufgaben
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Tarifierung und Lösungsvorschläge.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Reservierung

Frontmatter
Kapitel 13. Grundlagen
Zusammenfassung
Gegenstand der Schadenreservierung ist die Prognose der zukünftigen Versicherungsleistungen für alle Schäden eines Bestandes, die eingetreten, aber noch nicht abschließend reguliert sind. In diesem einführenden Kapitel zur Schadenreservierung diskutieren wir die Notwendigkeit der Bildung von Reserven, die verwendeten Datenarten, die Struktur dieser Daten und den Nutzen, der sich aus der Verwendung stochastischer Modelle ergibt. In den nachfolgenden Kapiteln untersuchen wir dann spezielle Verfahren und Modelle der Schadenreservierung.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 14. Abwicklungsmuster und Schadenquoten
Zusammenfassung
Die Verwendung von Abwicklungsdreiecken in der Schadenreservierung ist nur dann sinnvoll, wenn man annehmen kann, dass die Abwicklung der Schäden für alle Anfalljahre ähnlich verläuft. Diese Annahme kann auf unterschiedliche Weise durch die Wahl eines stochastischen Modells für die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse oder Schadenstände präzisiert werden. Eine Ähnlichkeit der Anfalljahre hinsichtlich der Abwicklung der Schäden ist insbesondere dann gegeben, wenn die Abwicklungsgeschwindigkeit oder die Endschadenquote für alle Anfalljahre im Wesentlichen gleich ist. In diesen Fällen kann man annehmen, dass ein Abwicklungsmuster existiert oder eine anfalljahrunabhängige erwartete Endschadenquote vorliegt oder dass sogar beide Bedingungen erfüllt sind. In allen drei Fällen liegt ein stochastisches Modell vor, in dem nur Annahmen an die Struktur der Erwartungswerte aller Zuwächse oder Schadenstände getroffen werden.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 15. Basisverfahren und Bornhuetter–Ferguson Prinzip
Zusammenfassung
In diesem Kapitel behandeln wir die Basisverfahren der Schadenreservierung. Wir betrachten zunächst drei Verfahren, die auf einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren beruhen. Dabei beginnen wir mit dem Chain–Ladder Verfahren und untersuchen dann seine Verallgemeinerungen zum Loss–Development Verfahren und zum Bornhuetter–Ferguson Verfahren. Wir betrachten sodann zwei Verfahren, die auf dem Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse beruhen und damit neben einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren auch Volumenmaße für die Anfalljahre und eine anfalljahrunabhängige erwartete Endschadenquote voraussetzen. Dabei beginnen wir mit dem additiven Verfahren und untersuchen dann seine Verallgemeinerung zum Cape–Cod Verfahren. Abschließend behandeln wir das Bornhuetter–Ferguson Prinzip, das eine einheitliche Darstellung der Basisverfahren gestattet und weitere Verfahren umfasst.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 16. Modelle mit Korrelationsstruktur
Zusammenfassung
Abwicklungsmuster sind elementare stochastische Modelle, die auf Annahmen an die Erwartungswerte der Schadenstände oder Zuwächse beruhen und eine erste Begründung vieler Verfahren der Schadenreservierung liefern. In diesem Kapitel betrachten wir Modelle, in denen neben Annahmen an die Erwartungswerte auch Annahmen an die Varianzen und Kovarianzen der Schadenstände oder Zuwächse getroffen werden. In diesen Modellen ist es möglich, Aussagen über die Optimalität bestimmter Prädiktoren zu treffen und deren erwarteten quadratischen Prognosefehler zu bestimmen. Wir betrachten zunächst ein Modell für das additive Verfahren und ein sehr ähnliches Modell für das Chain–Ladder Verfahren. Abschließend betrachten wir mit dem Poisson–Modell ein sehr spezielles Modell für das Chain–Ladder Verfahren, in dem die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse bis auf die Parameter vollständig spezifiziert ist.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 17. Anwendungsbezogene Fragen
Zusammenfassung
Mit den Basisverfahren stehen vielfältige Werkzeuge zur Reservierung bereit. Damit stellt sich die Frage, welches dieser Verfahren für einen gegebenen Bestand anzuwenden ist. Da die einzelnen Verfahren unterschiedliche Arten der Information verwenden, ist es hilfreich, deren Einfluss auf die Prädiktoren zu untersuchen. Dabei erweist sich das Bornhuetter–Ferguson Prinzip als nützlich, und es kann herangezogen werden, um für jede Zielgröße einen bestmöglichen Prädiktor zu finden. Außerdem stellt sich das Problem, einzelne auffällige Abwicklungsdaten oder Kalenderjahreffekte wie Inflation in angemessener Form zu berücksichtigen. Ein anderes Problem besteht darin, dass oft auch für das älteste verwendete Anfalljahr die Abwicklung noch nicht abgeschlossen ist; in diesem Fall werden durch die üblichen Verfahren nicht alle Abwicklungsjahre erfasst und Prädiktoren für die letzten Abwicklungsjahre müssen auf andere Weise bestimmt werden.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 18. Klausuraufgaben
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Reservierung und Lösungsvorschläge.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter

Risikoteilung

Frontmatter
Kapitel 19. Grundlagen und Formen der Risikoteilung
Zusammenfassung
Werden Risiken nicht ganz, sondern nur zum Teil übernommen, oder werden Teile übernommener Risiken abgegeben, so spricht man von Risikoteilung. Risiken können dabei
  • unter Versicherungsnehmern und Versicherungsunternehmen,
  • unter Erstversicherern und Rückversicherern oder
  • unter Rückversicherern
geteilt werden. In diesem Kapitel befassen wir uns mit verschiedenen Formen der Risikoteilung und zeigen, warum eine Risikoteilung wichtig und zweckmäßig sein kann.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 20. Auswirkungen der Risikoteilung
Zusammenfassung
Wir untersuchen nun die Frage, wie sich die verschiedenen Formen der proportionalen oder nichtproportionalen Risikoteilung auf die Verteilungen und Kennzahlen der Schadenvariablen auswirken. Dabei erfolgt die Analyse getrennt nach transferierten Risiken und Selbstbehalten. Im Mittelpunkt stehen die Verteilungen der Anzahl der Schäden, der Schadenhöhen und des Gesamtschadens, und bei den Kennzahlen beschränken wir uns auf die ersten Momente und daraus abgeleitete Größen. Von besonderem Interesse ist dabei der Variationskoeffizient als ein Maß für die Gefährlichkeit eines Risikos. Wir betrachten zunächst die proportionale Risikoteilung und dann die nichtproportionale Risikoteilung. Abschließend untersuchen wir mit Hilfe der Entlastungseffektfunktion die risikogerechte Aufteilung des Gesamtschadens in Abhängigkeit von einem Selbstbehalt.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 21. Prämienkalkulation für Rückversicherungsverträge
Zusammenfassung
In der proportionalen Rückversicherung beteiligt sich der Rückversicherer proportional an den Schadenzahlungen des Erstversicherers. Folglich steht ihm im Gegenzug der entsprechende Anteil des vom Erstversicherer erhobenen Originalbeitrags zu. In der nichtproportionalen Rückversicherung hingegen wird das Originalrisiko nicht proportional geteilt, sondern der Rückversicherungsschutz besteht in vertraglich festgelegten Schadenzahlungen. Die Preisfindung erfordert daher eine eigenständige Kalkulation. Abhängig von der vorhandenen Schadenerfahrung und der Struktur des übernommenen Layers werden unterschiedliche Quotierungsverfahren wie das Exposure Verfahren, das Burning–Cost Verfahren, das Extrapolationsverfahren und das Payback Verfahren eingesetzt.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Kapitel 22. Klausuraufgaben
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Risikoteilung und Lösungsvorschläge.
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter
Backmatter
Metadata
Title
Schadenversicherungsmathematik
Authors
Heinz-Willi Goelden
Klaus Th. Hess
Martin Morlock
Klaus D. Schmidt
Klaus J. Schröter
Copyright Year
2023
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-68623-2
Print ISBN
978-3-662-68622-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-68623-2