Schadenversicherungsmathematik
- 2023
- Buch
- Verfasst von
- Heinz-Willi Goelden
- Klaus Th. Hess
- Martin Morlock
- Klaus D. Schmidt
- Klaus J. Schröter
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
Über dieses Buch
Das vorliegende Buch gibt einen Überblick über die Grundlagen der Schadenversicherungsmathematik. Es behandelt in vier Teilen die Gebiete Risikomodelle, Tarifierung, Reservierung, Risikoteilung, und es zeigt auch Querverbindungen zwischen diesen Gebieten auf. Dabei liegt der Schwerpunkt auf der Darstellung und Erklärung der einzelnen Fragestellungen und der zugehörigen mathematischen Modelle und Methoden. Dementsprechend werden Beweise nur ausgeführt, wenn sie für das Verständnis hilfreich sind. Jeder der vier Teile des Buches enthält zahlreiche Aufgaben mit Musterlösungen.
Dieses Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die die Autoren im Auftrag der Deutschen Aktuar-Akademie (DAA) zur Vorbereitung auf die Prüfung der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV) zum Grundwissen Schadenversicherungsmathematik gehalten haben. Die Aufgaben beruhen auf Prüfungen der DAV und wurden leicht überarbeitet.
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Inhaltsverzeichnis
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Frontmatter
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Kapitel 1. Einleitung
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Schadenversicherungsmathematik und deren zentrale Verfahren zur Tarifierung, Reservierung und Risikoteilung. Es wird die Modellierung des Gesamtschadens eines Bestandes und die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Ein besonderer Fokus liegt auf der Tarifierung, bei der Risikomerkmale bestimmt und homogene Tarifklassen gebildet werden. Die Reservierung wird durch verschiedene Verfahren zur Prognose zukünftiger Versicherungsleistungen abgedeckt, wobei auch der Prognosefehler quantifiziert werden kann. Abschließend wird die Risikoteilung thematisiert, wobei verschiedene Formen der Rückversicherung und deren Auswirkungen auf Risikomodelle detailliert dargestellt werden. Das Kapitel bietet einen umfassenden Überblick und ist mit Aufgaben und Musterlösungen versehen, die auf Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung basieren.KI-Generiert
Diese Zusammenfassung des Fachinhalts wurde mit Hilfe von KI generiert.
ZusammenfassungDer Begriff Schadenversicherung ist ein Oberbegriff für eine Vielzahl von Versicherungszweigen. Die Schadenversicherung umfasst alle Zweige der Sachversicherung (die sich entweder auf versicherte Sachen wie Hausrat, Wohngebäude, Kraftfahrzeug oder auf Schadenursachen wie Erdbeben, Feuer, Frost, Hagel, Sturm, Überschwemmung oder auf beides beziehen), aber sie umfasst auch Versicherungszweige wie die Betriebsunterbrechungsversicherung oder die Transportversicherung sowie sämtliche Arten der Haftpflichtversicherung. -
Risikomodelle
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Frontmatter
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Kapitel 2. Grundlagen
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Grundlagen der Bestimmung und Approximation des Gesamtschadens in der Versicherungsmathematik. Es beginnt mit der Diskussion der Bedeutung der Verteilung des Gesamtschadens für die Prämienkalkulation und die Berechnung der Ruinwahrscheinlichkeit. Die Ungleichung von Cantelli wird eingeführt, um obere Schranken für die Überschreitungswahrscheinlichkeiten des Gesamtschadens zu liefern. Weiterhin werden verschiedene Methoden zur Approximation der Verteilung des Gesamtschadens vorgestellt, darunter die Normalapproximation und die Normal-Power Approximation. Abschließend werden zwei grundlegende Möglichkeiten der Darstellung des Gesamtschadens, die individuelle und die kollektive Betrachtungsweise, beschrieben. Diese beiden Ansätze ermöglichen es, Eigenschaften der Verteilung des Gesamtschadens aus den Verteilungen der Schadenhöhen und der Anzahl der Schäden abzuleiten.KI-Generiert
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ZusammenfassungFür einen Bestand von Risiken betrachten wir den Gesamtschaden, der sich in einem zukünftigen Versicherungsjahr einstellen wird, und stellen einige allgemeine Überlegungen zum Gesamtschaden an. Wir beginnen mit einer Diskussion der Bedeutung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens zur Bestimmung einer Prämie für den gesamten Bestand und der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gegebene Prämie nicht ausreichend ist. Wir untersuchen dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Bestimmung einer Prämie und der Wahrscheinlichkeit des Ruins und geben einige Verfahren zur Approximation der Verteilung des Gesamtschadens an. Abschließend beschreiben wir mit der individuellen und der kollektiven Betrachtungsweise zwei grundlegende Möglichkeiten der Darstellung des Gesamtschadens, die es gestatten, Eigenschaften der Verteilung des Gesamtschadens aus denen der Verteilungen der Schadenhöhen und der Anzahl der Schäden abzuleiten. -
Kapitel 3. Individuelles Modell
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel untersucht den Gesamtschaden eines Bestandes unter drei verschiedenen Modellannahmen: dem individuellen Grundmodell, dem individuellen Modell und dem individuellen Modell für einen homogenen Bestand. Im individuellen Grundmodell werden keine Annahmen an die gemeinsame Verteilung der jährlichen Schadenhöhen getroffen, während im individuellen Modell die Unabhängigkeit und im individuellen Modell für einen homogenen Bestand zusätzlich die Identität der Verteilung der Schadenhöhen angenommen wird. Die Auswirkungen der Verschärfung der Modellannahmen werden durch die Bestimmung der ersten Momente des Gesamtschadens und die Anwendung der Ungleichung von Cantelli zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Ruins und der Prämie analysiert. Besondere Aufmerksamkeit wird der Verteilung des Gesamtschadens und der Asymptotik bei wachsenden homogenen Beständen geschenkt, wobei die charakteristische Funktion und die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion als Hilfsmittel verwendet werden. Die Ergebnisse bieten wertvolle Einblicke in die Prämienkalkulation und den Ausgleich im Kollektiv.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der individuellen Betrachtungsweise. Wir betrachten dabei drei Modelle:-
Im individuellen Grundmodell wird keine Annahme an die Verteilung der jährlichen Schadenhöhen der einzelnen Risiken getroffen.
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Im individuellen Modell wird angenommen, dass die Schadenhöhen unabhängig sind.
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Im individuellen Modell für einen homogenen Bestand wird angenommen, dass sie unabhängig und identisch verteilt sind.
Für jedes dieser Modelle bestimmen wir zunächst die ersten Momente des Gesamtschadens und präzisieren dann am Beispiel der Ungleichung von Cantelli den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit des Ruins und der Bestimmung einer ausreichenden Prämie. Für das individuelle Modell geben wir weitere Ergebnisse zum Gesamtschaden an, und für das individuelle Modell für einen homogenen Bestand betrachten wir auch die Asymptotik bei wachsender Größe des Bestandes. -
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Kapitel 4. Kollektives Modell
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel untersucht das kollektive Modell in der Schadenversicherungsmathematik, das den Gesamtschaden eines Bestandes unter der kollektiven Betrachtungsweise analysiert. Es beginnt mit der Definition des Modells und der Bestimmung der Momente des Gesamtschadens durch die Gleichungen von Wald. Besondere Aufmerksamkeit wird der Panjer-Klasse geschenkt, einer Klasse von Verteilungen, für die sich die Verteilung des Gesamtschadens rekursiv berechnen lässt. Diese Rekursionsformeln ermöglichen eine effiziente Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten des Gesamtschadens und sind ein wichtiges Werkzeug für die Schadenversicherungsmathematik. Das Kapitel schließt mit der Herleitung von Rekursionsformeln für die Binomialmomente des Gesamtschadens, was insbesondere für die Analyse höherer Ordnung von Interesse ist.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel untersuchen wir den Gesamtschaden eines Bestandes unter der kollektiven Betrachtungsweise. Dabei sind nur die Schäden des Bestandes von Interesse, nicht aber die einzelnen Risiken, die diese Schäden verursachen. Wir beginnen mit der Definition des kollektiven Modells und bestimmen in diesem Modell die ersten Momente und die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens. Als nächstes untersuchen wir eine Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Anzahl der Schäden, die es im Fall ganzzahliger Schadenhöhen gestatten, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamtschadens rekursiv zu berechnen. -
Kapitel 5. Anwendungen des kollektiven Modells
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Anwendungen des kollektiven Modells' untersucht verschiedene Anwendungen des kollektiven Modells in der Schadenversicherungsmathematik. Es beginnt mit der Modellierung von Versicherungsleistungen für einzelne Risiken, die durch ein kollektives Modell beschrieben werden. Anschließend werden allgemeine Prinzipien zur Konstruktion neuer kollektiver Modelle durch Transformation, Verdünnung und Zerlegung vorgestellt. Diese Methoden ermöglichen es, komplexe Risikostrukturen zu vereinfachen und neue Anwendungen zu erschließen. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der Modellierung von Rückversicherungsleistungen und der Zerlegung von kollektiven Modellen in unabhängige Komponenten. Diese Ansätze sind von großer Bedeutung für die Praxis der Schadenversicherung und bieten innovative Lösungen zur Risikobewertung und -steuerung.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel betrachten wir einige Anwendungen des kollektiven Modells. Als eine erste Anwendung betrachten wir die Modellierung einer vom Gesamtschaden abweichenden Versicherungsleistung für ein Risiko, das eine zufällige Anzahl von Schäden erzeugt und durch ein kollektives Modell beschrieben werden kann. Wir stellen dann mit der Transformation, der Verdünnung und der Zerlegung eines kollektiven Modells allgemeine Prinzipien zur Konstruktion neuer kollektiver Modelle dar, die ihrerseits vielfältige Anwendungen besitzen. -
Kapitel 6. Verallgemeinerungen des kollektiven Modells
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel stellt zwei wichtige Verallgemeinerungen des kollektiven Modells vor: das abstrakte kollektive Modell und das dynamische kollektive Modell. Das abstrakte kollektive Modell ersetzt die Schadenhöhen durch allgemeine Schadenvariablen und ermöglicht eine flexible Anwendung in verschiedenen Szenarien, wie im Beispiel des multiplikativen Tarifs in der Kraftfahrthaftpflichtversicherung. Hierbei werden Parameter mit dem Maximum–Likelihood Verfahren geschätzt. Das dynamische kollektive Modell beschreibt die zeitliche Entwicklung von Schäden und bietet eine umfassende Darstellung der Schadenzahl- und Gesamtschadenprozesse. Beide Modelle bieten wertvolle Einblicke und Methoden für die Praxis der Schadenversicherungsmathematik.KI-Generiert
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ZusammenfassungDas kollektive Modell besitzt mit dem abstrakten kollektiven Modell und dem dynamischen kollektiven Modell zwei äußerst nützliche Verallgemeinerungen. Wir betrachten zunächst das abstrakte kollektive Modell, in dem die Schadenhöhen durch allgemeine Schadenvariable ersetzt werden, die beispielsweise auch Informationen über das verursachende Risiko enthalten können. Wir geben dann eine kurze Einführung in das dynamische kollektive Modell, mit dem ein Risiko oder ein Bestand von Risiken im zeitlichen Verlauf beschrieben werden kann. -
Kapitel 7. Klausuraufgaben
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt verschiedene Klausuraufgaben zur Modellierung von Versicherungsrisiken. Es werden zusammengesetzte Poisson-Verteilungen und Exponentialverteilungen verwendet, um Gesamtschäden und erforderliches Sicherheitskapital zu approximieren. Weiterhin werden Pareto-Verteilungen zur Modellierung von Schadenhöhen eingesetzt und deren Parameter geschätzt. Besonders hervorzuheben ist die detaillierte Herangehensweise bei der Berechnung von Quantilen und die Diskussion der Genauigkeit verschiedener Approximationsmethoden.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zu Risikomodellen und Lösungsvorschläge.
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Tarifierung
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Kapitel 8. Grundlagen
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel stellt die Grundlagen der Tarifierung in der Schadenversicherung vor. Es beginnt mit der Erklärung der in der Tarifierung verwendeten Begriffe und der verschiedenen Bestandteile der Prämie. Besonderes Augenmerk liegt auf den Prämienprinzipien, die zur Bestimmung der Prämienhöhe herangezogen werden. Das Kapitel erläutert die Ziele der Tarifierung, wie die Gewinnmaximierung und die Sicherstellung der dauerhaften Erfüllbarkeit der Verträge. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Schätzung der erwarteten Schadenhöhen in Risikoklassen, wobei verschiedene statistische Methoden und Modelle vorgestellt werden. Diese Methoden sind entscheidend für eine genaue und stabile Tarifierung. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf die weiteren Schritte im Tarifierungsprozess und betont die Bedeutung der Qualitätssicherung der verwendeten Daten.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel stellen wir die Grundlagen der Tarifierung in der Schadenversicherung bereit. Wir erklären zunächst die in der Tarifierung verwendeten Begriffe und insbesondere die verschiedenen Bestandteile der Prämie. Nach einer kurzen Einführung in die Ziele der Tarifierung stellen wir die wichtigsten Prämienprinzipien dar. Abschließend diskutieren wir für den Fall einer Aufteilung der Risiken eines Bestandes in mehrere Risikoklassen einige Methoden zur Schätzung der erwarteten Schadenhöhen der Einzelschäden in den einzelnen Risikoklassen. -
Kapitel 9. Daten und Tarifierungsstatistiken
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Analyse und Aufbereitung großer Datenmengen in der Schadenversicherung. Es wird die Bildung von Risikoklassen durch Risikomerkmale und Tarifmerkmale erläutert und die wichtigsten Kennzahlen der Schadenversicherung vorgestellt. Ein besonderer Fokus liegt auf dem Problem großer Schäden und deren Einfluss auf statistische Verfahren. Abschließend wird die spezielle Aufbereitung von Schadendaten in Form von Prioritätenstatistiken beschrieben, die für eine effiziente Risikobewertung und Tarifierung notwendig sind.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel befasst sich mit einem Charakteristikum der Schadenversicherung, das darin besteht, dass – in Abgrenzung zur Lebensversicherung – große Mengen heterogener Daten zu analysieren, in geeigneten Tarifierungsstatistiken zu erfassen, aufzubereiten und weiter zu verarbeiten sind. Wir Betrachten zunächst Risikomerkmale und Tarifmerkmale und die wichtigsten Kennzahlen der Schadenversicherung. Es folgt eine Einführung in ein weiteres Spezifikum der Schadenversicherung, nämlich das Problem besonders großer Schäden; dabei geht es nicht um diese Großschäden selbst, sondern darum, dass die verschiedenen statistischen Verfahren auf diese Ausreißer unter Umständen sehr empfindlich und unangemessen reagieren. Am Ende dieses Kapitels betrachten wir eine spezielle Aufbereitung von Schadendaten in Form von Prioritätenstatistiken. -
Kapitel 10. Modelle und Statistiken
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Modell und Statistik' untersucht die Verteilungsfreien und stochastischen Modelle der Tarifierung sowie verteilungsfreien und stochastischen Ausgleichsverfahren. Es werden multiplikative und additive Tarifierungsmodelle vorgestellt und deren Anwendung in der Praxis erläutert. Besondere Aufmerksamkeit wird den heuristischen Ausgleichsverfahren wie dem Verfahren der Marginaldurchschnitte, dem Verfahren von Bailey und Simon sowie dem Marginalsummenverfahren geschenkt. Zudem werden stochastische Ausgleichsverfahren betrachtet, die auf der Modellierung durch Zufallsvariable und deren Verteilungen basieren. Ein Beispiel zur Gamma-verteilten Gesamtschäden verdeutlicht die praktische Anwendung dieser Methoden. Abgerundet wird das Kapitel durch Hinweise zur Berücksichtigung von Kosten bei der Tarifierung, was die Komplexität und Relevanz der behandelten Themen unterstreicht.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel betrachten wir einen Bestand, der in mehrere Risikoklassen aufgeteilt ist. Wir untersuchen verteilungsfreie und stochastische Modelle der Tarifierung sowie verteilungsfreie und stochastische Ausgleichsverfahren, die dazu dienen, die Nettorisikoprämie für alle Risiken einer gegebenen Tarifzelle aus den Daten dieser Tarifzelle und denen der benachbarten Tarifzellen zu bestimmen. Wir geben zunächst eine Einführung in multiplikative und additive Tarifierungsmodelle und stellen dann für multiplikative Tarifierungsmodelle mehrere verteilungsfreie Ausgleichsverfahren und ein stochastisches Ausgleichsverfahren dar. -
Kapitel 11. Selektion von Risiken
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Selektion von Risiken' behandelt die Herausforderungen und Methoden der Risikoselektion in der Schadenversicherung. Es beginnt mit der Einführung in die Selektionseffekte und erläutert, wie sich diese auf die Prämiendifferenzierung auswirken. Ein zentrales Thema ist die Beitragsrückerstattung bei Schadenfreiheit, die sowohl theoretisch als auch praktisch beleuchtet wird. Weiterhin werden verschiedene Modelle zur Modellierung heterogener Bestände vorgestellt, darunter Bayes-Prämien und Credibility-Prämien, die zur sekundären Prämiendifferenzierung genutzt werden. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Erklärung und Anwendung von Bonus-Malus Systemen, die zur Anpassung der Prämien an das individuelle Schadenverhalten der Versicherten dienen. Diese Systeme werden sowohl für einzelne Risiken als auch für inhomogene Bestände detailliert erläutert. Das Kapitel bietet somit einen umfassenden Überblick über die komplexen Mechanismen der Risikoselektion und -bewertung in der Schadenversicherung.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel führt zunächst kurz in die Thematik der Selektionseffekte ein und befasst sich dann mit der in der Praxis der Schadenversicherung häufig anzutreffenden Beitragsrückerstattung für den Fall der Schadenfreiheit. Anschließend wird die Modellierung eines heterogenen Bestandes durch einen zufälligen Strukturparameter betrachtet und es werden verschiedene Methoden der sekundären Prämiendifferenzierung (Erfahrungstarifierung) dargestellt; dabei behandeln wir die Bestimmung von Bayes–Prämien und Credibility–Prämien sowie die Ausgestaltung von Bonus–Malus Systemen. -
Kapitel 12. Klausuraufgaben
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Berechnung von Nettorisikoprämien in der Versicherungsmathematik anhand von Klausuraufgaben. Es beschreibt verschiedene Szenarien und Methoden zur Ermittlung der Prämien unter unterschiedlichen Bedingungen und Bonussystemen. Ein zentrales Thema ist die Anwendung von Bonussystemen zur Differenzierung der Prämien basierend auf der Schadenhistorie der Versicherungsnehmer. Weiterhin werden unterschiedliche Ansätze zur Berechnung der Prämien, wie das Varianzprinzip und das Standardabweichungsprinzip, detailliert erläutert. Besonders interessant ist die Analyse der Auswirkungen von Selbstbeteiligung und Beitragsrückerstattung auf die Bruttorisikoprämie und die daraus resultierenden Risiken für das Versicherungsunternehmen.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Tarifierung und Lösungsvorschläge.
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Reservierung
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Kapitel 13. Grundlagen
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel führt in die Grundlagen der Schadenreservierung ein, ein zentrales Thema in der Versicherungswirtschaft. Es erläutert die Notwendigkeit der Bildung von Reserven für Spätschäden, die in zwei Kategorien unterteilt werden: IBNR (incurred but not reported) und IBNER (incurred but not enough reserved). Die Datenarten und -strukturen, die zur Bestimmung der Reserven verwendet werden, werden detailliert beschrieben, wobei besonders die Verwendung von Abwicklungsdreiecken und -quadraten hervorgehoben wird. Diese Strukturen ermöglichen es, die zukünftigen Zahlungen zu prognostizieren und die erforderlichen Reserven zu berechnen. Das Kapitel schließt mit einer Einführung in stochastische Modellierung, die eine Grundlage für die Entwicklung und Anwendung von Modellen zur Schadenreservierung darstellt. Diese Modelle helfen dabei, die gemeinsame Verteilung der beobachtbaren und nichtbeobachtbaren Zahlungen zu beschreiben und optimale Verfahren zur Reservierung zu entwickeln.KI-Generiert
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ZusammenfassungGegenstand der Schadenreservierung ist die Prognose der zukünftigen Versicherungsleistungen für alle Schäden eines Bestandes, die eingetreten, aber noch nicht abschließend reguliert sind. In diesem einführenden Kapitel zur Schadenreservierung diskutieren wir die Notwendigkeit der Bildung von Reserven, die verwendeten Datenarten, die Struktur dieser Daten und den Nutzen, der sich aus der Verwendung stochastischer Modelle ergibt. In den nachfolgenden Kapiteln untersuchen wir dann spezielle Verfahren und Modelle der Schadenreservierung. -
Kapitel 14. Abwicklungsmuster und Schadenquoten
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Abwicklungsmuster und Schadenquoten' befasst sich mit der Verwendung von Abwicklungsdreiecken in der Schadenreservierung und der Notwendigkeit, dass die Abwicklung der Schäden für alle Anfalljahre ähnlich verläuft. Es werden drei Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten und Faktoren vorgestellt, die durch stochastische Modelle präzisiert werden können. Diese Muster ermöglichen die Annahme, dass ein bestimmtes Verhältnis zwischen den erwarteten Zuwächsen und Schadenständen besteht. Die Schätzung der Parameter dieser Muster erfolgt durch verschiedene Verfahren, wie das Chain-Ladder-Verfahren und das Cape-Cod-Verfahren. Besonders interessant ist die Diskussion über die Äquivalenz der Abwicklungsmuster und die Anwendung von Volumenmaßen zur Bestimmung von Endschadenquoten. Das Kapitel schließt mit einer Analyse der Abwicklungsdaten und der Entscheidung, ob die Annahme eines Abwicklungsmusters vertretbar ist.KI-Generiert
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ZusammenfassungDie Verwendung von Abwicklungsdreiecken in der Schadenreservierung ist nur dann sinnvoll, wenn man annehmen kann, dass die Abwicklung der Schäden für alle Anfalljahre ähnlich verläuft. Diese Annahme kann auf unterschiedliche Weise durch die Wahl eines stochastischen Modells für die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse oder Schadenstände präzisiert werden. Eine Ähnlichkeit der Anfalljahre hinsichtlich der Abwicklung der Schäden ist insbesondere dann gegeben, wenn die Abwicklungsgeschwindigkeit oder die Endschadenquote für alle Anfalljahre im Wesentlichen gleich ist. In diesen Fällen kann man annehmen, dass ein Abwicklungsmuster existiert oder eine anfalljahrunabhängige erwartete Endschadenquote vorliegt oder dass sogar beide Bedingungen erfüllt sind. In allen drei Fällen liegt ein stochastisches Modell vor, in dem nur Annahmen an die Struktur der Erwartungswerte aller Zuwächse oder Schadenstände getroffen werden. -
Kapitel 15. Basisverfahren und Bornhuetter–Ferguson Prinzip
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Basisverfahren der Schadenreservierung in der Versicherungsmathematik. Es beginnt mit dem Chain-Ladder Verfahren, das auf beobachtbaren Schadenständen basiert und zur Prognose zukünftiger Schadenstände dient. Weiter werden das Loss-Development Verfahren und das Bornhuetter-Ferguson Verfahren vorgestellt, die ebenfalls zur Schätzung zukünftiger Schadenstände und Reserven verwendet werden. Besondere Aufmerksamkeit wird dem Bornhuetter-Ferguson Prinzip geschenkt, das eine einheitliche Darstellung aller Verfahren ermöglicht und neue Methoden zur Schadenreservierung ermöglicht. Das Kapitel schließt mit einer detaillierten Analyse und Vergleich der verschiedenen Verfahren, wobei die Vorteile und Besonderheiten jedes Verfahrens hervorgehoben werden.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn diesem Kapitel behandeln wir die Basisverfahren der Schadenreservierung. Wir betrachten zunächst drei Verfahren, die auf einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren beruhen. Dabei beginnen wir mit dem Chain–Ladder Verfahren und untersuchen dann seine Verallgemeinerungen zum Loss–Development Verfahren und zum Bornhuetter–Ferguson Verfahren. Wir betrachten sodann zwei Verfahren, die auf dem Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse beruhen und damit neben einem Abwicklungsmuster für Anteile, Quoten oder Faktoren auch Volumenmaße für die Anfalljahre und eine anfalljahrunabhängige erwartete Endschadenquote voraussetzen. Dabei beginnen wir mit dem additiven Verfahren und untersuchen dann seine Verallgemeinerung zum Cape–Cod Verfahren. Abschließend behandeln wir das Bornhuetter–Ferguson Prinzip, das eine einheitliche Darstellung der Basisverfahren gestattet und weitere Verfahren umfasst. -
Kapitel 16. Modelle mit Korrelationsstruktur
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Modelle mit Korrelationsstruktur' behandelt stochastische Modelle in der Schadenreservierung, die sowohl Annahmen über die Erwartungswerte als auch über die Varianzen und Kovarianzen von Schadenständen oder Zuwächsen treffen. Im additiven Modell wird ein Abwicklungsmuster für Schadenquotenzuwächse angenommen, das eine erste Begründung für das additive Verfahren liefert. Das Chain-Ladder Modell basiert auf Annahmen an die bedingten Momente der Schadenstände und zeigt die Erwartungstreue und Optimalität der Chain-Ladder Prädiktoren. Das Poisson-Modell, das auf Hachemeister und Stanard zurückgeht, beschreibt die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse und bietet eine Begründung für das Chain-Ladder Verfahren. Der Text untersucht auch die Berechnung von Prognosefehlern und die Anwendung von Schätzverfahren wie dem Marginalsummenverfahren und dem Maximum-Likelihood Verfahren. Besonders interessant ist die detaillierte Analyse der erwarteten quadratischen Prognosefehler und die Optimierung der Prädiktoren.KI-Generiert
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ZusammenfassungAbwicklungsmuster sind elementare stochastische Modelle, die auf Annahmen an die Erwartungswerte der Schadenstände oder Zuwächse beruhen und eine erste Begründung vieler Verfahren der Schadenreservierung liefern. In diesem Kapitel betrachten wir Modelle, in denen neben Annahmen an die Erwartungswerte auch Annahmen an die Varianzen und Kovarianzen der Schadenstände oder Zuwächse getroffen werden. In diesen Modellen ist es möglich, Aussagen über die Optimalität bestimmter Prädiktoren zu treffen und deren erwarteten quadratischen Prognosefehler zu bestimmen. Wir betrachten zunächst ein Modell für das additive Verfahren und ein sehr ähnliches Modell für das Chain–Ladder Verfahren. Abschließend betrachten wir mit dem Poisson–Modell ein sehr spezielles Modell für das Chain–Ladder Verfahren, in dem die gemeinsame Verteilung aller Zuwächse bis auf die Parameter vollständig spezifiziert ist. -
Kapitel 17. Anwendungsbezogene Fragen
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel befasst sich mit verschiedenen Anwendungsbezogenen Fragen in der Schadenversicherungsmathematik. Es wird erläutert, wie unterschiedliche Verfahren zur Reservierung angewendet werden und wie das Bornhuetter-Ferguson Prinzip genutzt werden kann, um verlässliche Prädiktoren und Reserven zu bestimmen. Besondere Aufmerksamkeit wird den Ausreißereffekten und Kalenderjahreffekten geschenkt, die die Prädiktoren beeinflussen können. Weiterhin wird das Separationsverfahren vorgestellt, das neben Anfalljahreffekten und Abwicklungsjahreffekten auch Kalenderjahreffekte berücksichtigt. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über den Nachlauf und die Herausforderungen bei der Prognose zukünftiger Schadenstände in Long-Tail-Geschäften.KI-Generiert
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ZusammenfassungMit den Basisverfahren stehen vielfältige Werkzeuge zur Reservierung bereit. Damit stellt sich die Frage, welches dieser Verfahren für einen gegebenen Bestand anzuwenden ist. Da die einzelnen Verfahren unterschiedliche Arten der Information verwenden, ist es hilfreich, deren Einfluss auf die Prädiktoren zu untersuchen. Dabei erweist sich das Bornhuetter–Ferguson Prinzip als nützlich, und es kann herangezogen werden, um für jede Zielgröße einen bestmöglichen Prädiktor zu finden. Außerdem stellt sich das Problem, einzelne auffällige Abwicklungsdaten oder Kalenderjahreffekte wie Inflation in angemessener Form zu berücksichtigen. Ein anderes Problem besteht darin, dass oft auch für das älteste verwendete Anfalljahr die Abwicklung noch nicht abgeschlossen ist; in diesem Fall werden durch die üblichen Verfahren nicht alle Abwicklungsjahre erfasst und Prädiktoren für die letzten Abwicklungsjahre müssen auf andere Weise bestimmt werden. -
Kapitel 18. Klausuraufgaben
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDer Beitrag behandelt die Schätzung von Schadenzahlungen und Reserven in der Versicherungsmathematik. Es werden verschiedene Verfahren wie das additive Verfahren, das Bornhuetter-Ferguson Verfahren und das Cape-Cod Verfahren vorgestellt und anhand von Beispielen erläutert. Dabei wird gezeigt, wie diese Verfahren zur Schätzung von Endschadenständen und Reserven angewendet werden können. Besonders interessant ist die detaillierte Darstellung der Berechnungen und die Analyse der Auswirkungen von Korrekturen in den Abwicklungsdreiecken. Der Beitrag bietet praktische Einblicke und ist für Experten in der Versicherungsmathematik und Risikomanagement von großem Nutzen.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Reservierung und Lösungsvorschläge.
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Risikoteilung
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Frontmatter
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Kapitel 19. Grundlagen und Formen der Risikoteilung
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Grundlagen und Formen der Risikoteilung' befasst sich mit der Verteilung von Risiken in der Versicherungswirtschaft. Es wird erklärt, wie Risiken zwischen Versicherungsnehmern und -unternehmen sowie zwischen Erst- und Rückversicherern geteilt werden können. Die Risikoteilung kann proportional oder nichtproportional erfolgen und dient dazu, das Risiko auf mehrere Schultern zu verteilen und die finanzielle Belastung zu minimieren. Verschiedene Modelle und Beispiele illustrieren die praktische Anwendung dieser Konzepte in der Versicherungsbranche. Besonders interessant ist die Darstellung der verschiedenen Rückversicherungsarten und deren spezifische Anwendungsfälle, die ein tiefes Verständnis der Risikomanagementstrategien in der Versicherungswirtschaft erfordern.KI-Generiert
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ZusammenfassungWerden Risiken nicht ganz, sondern nur zum Teil übernommen, oder werden Teile übernommener Risiken abgegeben, so spricht man von Risikoteilung. Risiken können dabei-
unter Versicherungsnehmern und Versicherungsunternehmen,
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unter Erstversicherern und Rückversicherern oder
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unter Rückversicherern
geteilt werden. In diesem Kapitel befassen wir uns mit verschiedenen Formen der Risikoteilung und zeigen, warum eine Risikoteilung wichtig und zweckmäßig sein kann. -
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Kapitel 20. Auswirkungen der Risikoteilung
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel untersucht die Auswirkungen der Risikoteilung in der Versicherungsmathematik. Es wird analysiert, wie sich die Risikoteilung auf die Verteilung und Kennzahlen der Schadenvariablen auswirkt, insbesondere auf die Schadenzahlverteilung, die Schadenhöhenverteilung und die Gesamtschadenverteilung. Die Kennzahlen wie Erwartungswert und Varianz sowie abgeleitete Größen wie Standardabweichung und Variationskoeffizient werden im Fokus betrachtet. Es wird zwischen proportionaler und nichtproportionaler Risikoteilung unterschieden, wobei die proportionale Risikoteilung die Gefährlichkeit eines Risikos nicht beeinflusst. Die nichtproportionale Risikoteilung, einschließlich Abzugsfranchise und Schadenexzedentenrückversicherung, wird detailliert erläutert. Besonders hervorgehoben wird die Entlastungseffektfunktion, die das Verhältnis der erwarteten Schäden zwischen Erstversicherer und Rückversicherer beschreibt. Diese Funktion ist monoton wachsend und konkav und wird durch die Verteilungsfunktion der Schadenhöhe bestimmt. Die Schadengradentlastungsfunktion wird ebenfalls untersucht, die in der Rückversicherung eine wichtige Rolle bei der Preisfindung spielt. Das Kapitel bietet eine umfassende Analyse der Risikoteilung und ihrer Auswirkungen auf die Versicherungsmathematik.KI-Generiert
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ZusammenfassungWir untersuchen nun die Frage, wie sich die verschiedenen Formen der proportionalen oder nichtproportionalen Risikoteilung auf die Verteilungen und Kennzahlen der Schadenvariablen auswirken. Dabei erfolgt die Analyse getrennt nach transferierten Risiken und Selbstbehalten. Im Mittelpunkt stehen die Verteilungen der Anzahl der Schäden, der Schadenhöhen und des Gesamtschadens, und bei den Kennzahlen beschränken wir uns auf die ersten Momente und daraus abgeleitete Größen. Von besonderem Interesse ist dabei der Variationskoeffizient als ein Maß für die Gefährlichkeit eines Risikos. Wir betrachten zunächst die proportionale Risikoteilung und dann die nichtproportionale Risikoteilung. Abschließend untersuchen wir mit Hilfe der Entlastungseffektfunktion die risikogerechte Aufteilung des Gesamtschadens in Abhängigkeit von einem Selbstbehalt. -
Kapitel 21. Prämienkalkulation für Rückversicherungsverträge
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel 'Prämienkalkulation für Rückversicherungsverträge' untersucht die Methoden zur Berechnung von Prämien in Rückversicherungsverträgen. Es wird zwischen proportionaler und nichtproportionaler Rückversicherung unterschieden. In der proportionalen Rückversicherung wird die Prämie proportional zu den Schadenzahlungen des Erstversicherers berechnet, während in der nichtproportionalen Rückversicherung die Prämie auf Basis von Schadenleistungen und nicht auf Originalprämien basiert. Verschiedene Quotierungsverfahren wie das Exposure Verfahren, die Burning-Cost Quotierung und das Extrapolationsverfahren werden vorgestellt. Praktische Beispiele und detaillierte Berechnungen illustrieren die Anwendung dieser Methoden. Besonders interessant sind die Beispiele zur Schadenexzedentenrückversicherung und die Diskussion über die Herausforderungen bei der Quotierung von Schadenexzedenten pro Jahr und Ereignis.KI-Generiert
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ZusammenfassungIn der proportionalen Rückversicherung beteiligt sich der Rückversicherer proportional an den Schadenzahlungen des Erstversicherers. Folglich steht ihm im Gegenzug der entsprechende Anteil des vom Erstversicherer erhobenen Originalbeitrags zu. In der nichtproportionalen Rückversicherung hingegen wird das Originalrisiko nicht proportional geteilt, sondern der Rückversicherungsschutz besteht in vertraglich festgelegten Schadenzahlungen. Die Preisfindung erfordert daher eine eigenständige Kalkulation. Abhängig von der vorhandenen Schadenerfahrung und der Struktur des übernommenen Layers werden unterschiedliche Quotierungsverfahren wie das Exposure Verfahren, das Burning–Cost Verfahren, das Extrapolationsverfahren und das Payback Verfahren eingesetzt. -
Kapitel 22. Klausuraufgaben
Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. SchröterDas Kapitel behandelt die Berechnung von Nettorisikoprämien für verschiedene Versicherungsverträge wie Excess-of-Loss und Quotenrückversicherung. Es wird gezeigt, wie die Nettorisikoprämie für den Rückversicherer berechnet wird und wie sich diese bei verschiedenen Vertragsarten und Prioritäten verändert. Zudem wird die Aufteilung von Risiken zwischen Versicherern und Rückversicherern detailliert analysiert, insbesondere die Verteilung der Schadenzahl und der Schadenhöhen. Ein weiteres Thema ist die Berechnung der Varianz und des Variationskoeffizienten des Gesamtschadens, um das Risiko für den Erstversicherer zu minimieren. Besonders interessant sind die praktischen Anwendungen und die detaillierten Berechnungen, die für die Risikobewertung und -steuerung in der Versicherungsbranche relevant sind.KI-Generiert
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ZusammenfassungDieses Kapitel enthält, in enger Anlehnung an Klausuren der Deutschen Aktuarvereinigung (DAV), Aufgaben zur Risikoteilung und Lösungsvorschläge.
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Backmatter
- Titel
- Schadenversicherungsmathematik
- Verfasst von
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Heinz-Willi Goelden
Klaus Th. Hess
Martin Morlock
Klaus D. Schmidt
Klaus J. Schröter
- Copyright-Jahr
- 2023
- Verlag
- Springer Berlin Heidelberg
- Electronic ISBN
- 978-3-662-68623-2
- Print ISBN
- 978-3-662-68622-5
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-662-68623-2
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