Übungsbeispiele zur Systemtheorie

Frontmatter

Einführung

Zusammenfassung

Die Auswahl und Reihenfolge der Aufgaben ist im wesentlichen dem Aufbau des Buches „Methoden der Systemtheorie“ von H. Marko, 2. Auflage 1982 (Band 1 dieser Buchreihe), angepaßt, auf das mit „MS S. …“ verwiesen wird. Zusätzlich wurden Kapitel 2 „Operationen mit dem Dirac-Impuls“ und Kapitel 8 „Einschwingvorgänge“ aufgenommen. Am Anfang jedes Aufgabenkapitels steht eine kurzgefaßte Einführung, die den Inhalt der Aufgaben charakterisiert. Vor jeder Aufgabe werden die geforderten Lösungsmethoden aufgezählt, da im Gegensatz zu einer Übungsvorlesung bei einem Teil der Aufgaben auch Methoden angewendet werden, die erst in späteren Kapiteln ausführlich geübt werden. Dies soll den Lesern, die dieses Buch zur Einführung in die Methoden der Systemtheorie verwenden wollen, die Auswahl der Übungsaufgaben erleichtern. Die Lösungen sind im zweiten Teil des Buches jeweils unter der gleichen Kapitel- und Beispielnummer zu finden.

Josef Hofer-Alfeis

A 1. Spektralanalyse bei periodischen Funktionen

Zusammenfassung

Eine Funktion u(t), für die gilt

$${\text{u}}\left( {\text{t}} \right) = {\text{u}}\left( {{\text{t + kT}}} \right),{{\text{k}}_{\text{1}}} \leqslant {\text{k}} \leqslant {{\text{k}}_2},{\text{k ganz}}$$

besteht für k₁ < k₂−1 aus mehreren bis auf eine Verschiebung gleichartigen Einzelimpulsen der Periodendauer T. Sie ist (streng) periodisch für k₁ = −∞ und k₂ = +∞ und quasiperiodisch für endlich. In den folgenden Beispielen 1.1 – 1.4 wird die Spektralanalyse für streng periodische Funktionen durchgeführt, in Beispiel 1.5 die real immer gegebene Zeitbegrenzung berücksichtigt. Im Beispiel 1.6 wird der Zusammenhang Frequenzbandbegrenzung und Gibbssches Phänomen aufgezeigt.

Josef Hofer-Alfeis

A 2. Operationen mit dem Dirac-Impuls

Zusammenfassung

Der Dirac-Impuls (oder δ-Funktion) ist definiert über seine Ausblendeigenschaft

$$\int\limits_\infty ^\infty {{\text{f}}\left( {\text{x}} \right)} \delta \left( {\text{x}} \right){\text{dx = f}}\left( 0 \right),{\text{f}}\left( {\text{x}} \right){\text{ stetig im Nullpunkt s}}{\text{. MS Kap}}{\text{. 10}}$$

Mit ihr lassen sich eine Reihe anderer Eigenschaften des Dirac-Impulses ableiten (2.1).

Josef Hofer-Alfeis

A 3. Anwendung der Integraltransformationen

Zusammenfassung

Die Beispiele betrachten häufig verwendete Korrespondenzen oder greifen Besonderheiten der Fourier-, Laplace und der Allgemeinen Spektraltransformation auf. Die häufig gebrauchte Korrespondenz rect-si-Funktion wird in 3.1 betrachtet, in 3.2 wird Fourier- und Laplacetransformation auf eine halbstationäre Sinusschwingung angewendet. In 3.3 wird der Zusammenhang der zwei bekannten Transformationen mit der Allgemeinen Spektraltransformation hergestellt und in 3.4 Besonderheiten der drei Transformationen am Beispiel von exponentiellen Signalen untersucht. Die Fourierrücktransformation unterscheidet sich nur in einem Vorzeichen von der Hintransformation und braucht deshalb nicht eigens untersucht zu werden. Die Laplace-Rücktransformation wird an mehreren Beispielen in Kap. 4 erprobt. Die z-Transformation wird gesondert bei den zeitdiskreten Signalen in Kap.9 angewendet.

Josef Hofer-Alfeis

A 4. Lineare zeitinvariante Systeme mit kausaler Impulsantwort

Zusammenfassung

Für lineare Systeme gilt das Überlagerungsgesetz, d.h. auf eine Summe von Eingangssignalen antwortet das System mit der Summe der jeweiligen Ausgangssignale. Voraussetzung ist dabei, daß alle Antworten auf frührer eingegebene Signale abgeklungen sind, d.h. die Energiespeicher leer sind. Bei zeit invarianten Systemen sind die Antworten bis auf die Lage auf der Zeitachse unabhängig vom Zeitpunkt zu dem die Eingangssignale aufgeschaltet wurden. Solche Systeme werden auch allgemein verschiebungsinvariant genannt, wobei es sich dann auch um Ortssignale, z.B. Bilder, handeln kann. Unter Kausalität versteht man den bei realen Zeitsystemen immer gegebenen Zusammenhang, daß die Wirkung, das Ausgangssignal, nicht zeitlich vor der Ursache, dem Eingangssignal, auftreten kann. Diese Definitionen sind an dem kleinen Beispiel 4.5 zu erproben. Ein ausführliches Beispiel (4.1) führt in die Auswertung der Pol-Nullstellen-Verteilung und die Anwendung der Laplace-Rücktransformation ein. Das Beispiel 4.2 knüpft an Fouriertransformation und Faltung an, im Beispiel 4.3 werden auch verschiedene Laufzeitdefinitionen angewendet und interpretiert. In 4.4 wird vor allem die Verwendung einer Laplace-Tabelle geübt.

Josef Hofer-Alfeis

A 5. Faltung

Zusammenfassung

Den großen Verständnisschwierigkeiten, die meist bei der Lösung des Faltungsintegrals auftreten, wenn mindestens eine der beiden Funktionen nur bereichsweise definierbar ist (z.B. mit Hilfe der rect-Funktion), wird durch das ausführliche Berechnungsbeispiel 5.1 Rechnung getragen. Kontrollüberlegungen zum Funktionsverlauf des Ergebnisses und den Dimensionen der beteiligten Funktionen sollen die Überprüfung des Ergebnisses ermöglichen. Daran wurde eine allgemeine Dimensionenbetrachtung für die systemtheoretischen Kennfunktionen angehängt (5.1 k). Im Beispiel 5.2 wird die Rechenerleichterung durch Abspalten idealisierter einfacher Systeme demonstriert und die Autokorrelationsfunktion mit ihrem Spektrum eingeführt. Im Beispiel 5.3 wird die vielseitige Anwendbarkeit des Faltungsintegrals zur Beschreibung bekannter systemtheoretischer Methoden gezeigt und zugleich der oft einfachere Weg über den Frequenzbereich in Erinnerung gebracht. Das Beispiel 5.4 läßt auf verschiendenen Wegen die Antwort eines Schmalbandfilters auf einen Rechteckimpuls bestimmen und knüpft eine Verbindung zur Wechselsignalsprungantwort in 8.3.

Josef Hofer-Alfeis

A 6. Gesetze der Fourier-Transformation (FT)

Zusammenfassung

Mit Hilfe der Gesetze der FT kann oft der mühsame Weg über das Transformationsintegral abgekürzt werden. Meist läßt sich z.B. eine Funktion, insbesondere ihre Approximation durch Geradenzug, durch Differenzieren in einfacher zu transformierende Funktionen wandeln, die unter Anwendung des Differentiationsatzes auf die gesuchte Fouriertransformierte führen (6.1). Systemtheoretisch kann die Differentiation durch ein lineares zeitinvariantes System dargestellt werden, was in vorangegangenen Kapiteln mehrfach verwendet wurde. In 6.1 wird die Impulsantwort des idealen Differenzierers genauer untersucht. In 6.2 wird u.a. die Verwendung von Korrespondenz-Tabellen zur FT geübt, wobei Symmetrieüberlegungen und der Ähnlichkeitssatz Anwendung finden. In 6.3 soll eine Transformationsaufgabe nach eigener Wahl angegangen werden, außerdem werden Überlegungen zur äquivalenten Impuls-bzw. Bandbreite angestellt.

Josef Hofer-Alfeis

A 7. Hilbert-Transformation (HT)

Zusammenfassung

In Aufgabe A7.1 wird die HT im Zeitbereich angewendet, außerdem wird der „Hilbert-Transformator“ eingeführt, dessen Impuls- und Sprungantwort in weiteren Aufgaben dieses Kapitels Anwendung findet. Die HT im Frequenzbereich verbindet Real- und Imaginärteil der Übertragungsfunktion eines realisierbaren Systems. Dies wird in 7.2 näher untersucht. Die Bedeutung der HT für Minimumphasensysteme und ihre Anwendung auf einfachste Dämpfungsverläufe ist in 7.3 der Hintergrund. Ein Beispiel für ein Entzerrungsproblem ist 7.4, in dem die Benutzung von Fourierkorrespondenzen für die HT angewendet wird.

Josef Hofer-Alfeis

A 8. Einschwingvorgänge

Zusammenfassung

Mit Hilfe der Integraltransformationen (FT und Laplace) lassen sich Einschwingvorgänge bei analogen linearen zeitinvarianten Systemen leicht berechnen und durchschauen. In 8.1 werden Impuls- und Sprungantwort für die drei Tiefpaß-Grundtypen, Küpfmüller-, Spalt-und Gauß-Tiefpaß abgeleitet und eine kausale Approximation für einen Küpfmüller-TP untersucht. In 8.2 werden andere Übertragungstypen wie Hoch- und Bandpaß auf äquivalente Tiefpässe zurückgeführt und dadurch ihre Einschwingvorgänge durch bereits bekannte ausgedrückt und die für Abschätzungen häufig nützliche Schmalbandnäherung eingeführt. Die Antwort auf einen Wechselsignalsprung wird im ausführlichen Beispiel 8.3 für einen Tiefpaß entwickelt und in 8.4 für einen Bandpaß bei symmetrischer und unsymmetrischer Lage der Wechselfrequenz im Übertragungsband erprobt. 8.5 ist ein Wiederholungsbeispiel für das 8. Kapitel.

Josef Hofer-Alfeis

A 9. Das Abtasttheorem

Zusammenfassung

Die Eigenheiten der Abtastung bei verschiedenen Abtastfrequenzen werden im Einführungsbeispiel 9.1 anhand eines Schmalbandsignals untersucht. Dabei ergibt sich auch die Einsicht in ein auch für HF-Signale brauchbares Abtasttheorem. Nebenbei wird noch eine Überlegung zur Phasenverzerrung gefordert. In 9.2 wird die praktisch wichtige Zusammenschaltung von Abtaster und Übertragungssystemen analysiert und auf Verzerrungen und Störungen eingegangen. 9.3 ist ein Wiederholungsbeispiel, das über eine weitere Abtastung im Frequenzbereich zum finiten Signal überleitet.

Josef Hofer-Alfeis

A 10. Zeitdiskrete Signale und Systeme

Zusammenfassung

Zeitdiskrete Signale als Impulsantworten in analogen Systemen mit Echoverzerrung werden in 10.1 behandelt, wo auch eine Orstskurvendarstellung der Übertragungsfunktion und die Untersuchung auf Verzerrungen gefragt sind. In 10.2 wird die z-Transformation eingeführt und in Zusammenhang mit FT und Laplace-Transformation gesetzt. In 10.3 werden verschiedene Berechnungswege für zeitdiskrete Filter anhand eines Entzerrungsproblems geübt. Die diskrete FT wird in 10.4 zusammen mit finitem Signal und finitem Spektrum untersucht.

Josef Hofer-Alfeis

Einführung

Zusammenfassung

Kapitel und Lösungen sind in diesem Buchteil in gleicher Weise durchnummeriert wie im Aufgabenteil, unterschieden durch ein vorgestelltes L statt A. Hinweise auf das Buch „Methoden der Systemtheorie“ von H. Marko, 2. Auflage 1982 (Band 1 dieser Buchreihe), warden mit „MS S. …“ oder MS (…Formelnummer…) gegeben. Weitere Literaturempfehlungen finden sich z.B. am Ende des obengenannten Buches.

Josef Hofer-Alfeis

L 1. Spektralanalyse bei periodischen Funktionen

Josef Hofer-Alfeis

L 2. Operationen mit dem Dirac-Impuls

Josef Hofer-Alfeis

L 3. Anwendung der Integraltransformationen

Josef Hofer-Alfeis

L 4. Lineare zeitinvariante Systeme mit kausaler Impulsantwort

Josef Hofer-Alfeis

L 5. Faltung

Josef Hofer-Alfeis

L 6. Gesetze der Fourier-Transformation (FT)

Josef Hofer-Alfeis

L 7. Hilbert-Transformation (HT)

Josef Hofer-Alfeis

L 8. Einschwingvorgänge

Josef Hofer-Alfeis

L 9. Das Abtasttheorem

Josef Hofer-Alfeis

L 10. Zeitdiskrete Signale und Systeme

Josef Hofer-Alfeis