Unterhaltsame Geometrie

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung

Was ist Geometrie? Eine junge Dame, so gefragt, antwortet ohne Zögern: „Oh, das ist das, wo etwas bewiesen wird.“ Gedrängt, ein Beispiel für so ein zu beweisendes Etwas zu geben, mußte sie passen. Auch war ihr entgangen, warum es eine gute Sache war, etwas zu beweisen. Die Reaktion der Dame ist typisch für viele Menschen, die meinen, auf der Schule Geometrie gelernt zu haben. Sie vergessen alle die Hauptsache und vergegenwärtigen sich nicht, warum dieser Stoff durchgenommen worden ist.

C. Stanley Ogilvy

1. Etwas aus den Grundlagen

Zusammenfassung

Der Besitzer eines Autokinos weiß aus Erfahrung, daß der günstigste Blickwinkel, mit dem ein Zuschauer die Leinwand sieht, der Winkel θ (theta) ist. Aber nur ein Zuschauer kann den bevorzugten Platz V genau in Front der Leinwand einnehmen (Bild 1). Nun interessiert sich der Besitzer für andere Plätze U, von denen aus die Leinwand unter dem gleichen Winkel θ erscheint.

C. Stanley Ogilvy

2. Harmonische Teilung und Apollonios-Kreise

Zusammenfassung

Ist es möglich, eine Strecke innen und außen im gleichen Verhältnis zu teilen? Gibt es in Bild 7 zwei Punkte C und D, so daß

$$\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {BD} }}?$$

C. Stanley Ogilvy

3. Inversion

Zusammenfassung

Vielleicht haben Sie in der Schule gelernt, mit Logarithmen zu rechnen. Warum eigentlich? Logarithmen sich Exponenten zu einer gewissen Basis (meistens der Zahl 10). Potenzen zur selben Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden. Dies ist nur eine Rechenart, die durch Logarithmen einfacher gemacht wird, aber sie genügt zur Erläuterung. Die beiden zu multiplizierenden Zahlen können vier oder fünf Ziffern haben. Es ist nun recht einfach, zu jeder Zahl den Logarithmus aufzuschreiben, diese beiden Logarithmen zu addieren und dann dazu den „Antilogarithmus“, den Numerus, als Ergebnis zu suchen.

C. Stanley Ogilvy

4. Anwendungen der Inversion

Zusammenfassung

Wir betrachten die Kreisschar, die die Y-Achse (und damit auch sich untereinander) im Ursprung berühren (Bild 29). Unter welchen Winkeln schneidet ein anderer nicht zu dieser Schar gehörender Kreis C die Kreise der Schar?

C. Stanley Ogilvy

5. Die Sechskugelfigur

Zusammenfassung

Eine Ellipse kann als der Weg eines Punktes definiert werden, für den (in der Ebene) die Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist. Befestigen Sie zwei Nägel auf einem Zeichenbrett, und an den beiden Nägeln eine Schnur, die länger als die Entfernung der Nägel ist. Nehmen Sie den lockeren Teil mit dem Bleistift auf und ziehen Sie dann unter Spannen der Schnur die Kurve. Diese Kurve ist eine Ellipse (Bild 43), weil die Länge d₁ + d₂ der Schnur konstant ist. Die Punkte F₁ und F₂, in denen die Schnur befestigt ist, heißen Brennpunkte.

C. Stanley Ogilvy

6. Die Kegelschnitte

Zusammenfassung

Wir werden nun einige weitere Eigenschaften der am Anfang des Kapitels 5 definierten drei Kurven untersuchen.

C. Stanley Ogilvy

7. Projektive Geometrie

Zusammenfassung

Eine Projektion von einem Punkt O des dreidimensionalen Raumes bildet die Punkte einer gegebenen Ebene in die Punkte einer anderen gegebenen Ebene ab, vorausgesetzt, daß O nicht in einer der beiden Ebenen liegt. In Bild 63 wird das Dreieck ABC der Ebene ∑ in das Dreieck A′B′C′ der Ebene ∑′ projiziert; O heißt das Projektionszentrum. Die beiden Ebenen sind nicht notwendigerweise parallel, so daß im allgemeinen das Bild einer Figur dem Urbild nicht ähnlich ist.

C. Stanley Ogilvy

8. Einige Euklidische Themen

Zusammenfassung

Der Mittelpunkt eines Kreises, der zwei sich schneidende Geraden \(\overline {AB} \) und \(\overline {AC} \) berührt, muß auf der Halbierenden des Winkels bei A liegen (Bild 84). Soll er außerdem noch eine dritte Gerade \(\overline {BC} \) berühren, so gibt es zwei derartige Kreise mit dem Mittelpunkt l, dem Mittelpunkt des Inkreises, und E_a, dem Mittelpunkt eines Ankreises.

C. Stanley Ogilvy

9. Der Goldene Schnitt

Zusammenfassung

Beschreiben wir einem Kreis ein regelmäßiges Fünfeck ein und ziehen darin alle Diagonalen, so erhalten wir so viele miteinander verbundene Beziehungen, daß die Figur den Namen mystisches Pentagramm verdient hat (Bild 93). Die Dreiecke ACD und CDQ sind ähnlich, weil sie den Winkel bei D gemeinsam habep und \(\measuredangle 1 = \measuredangle 2\) (warum?) ist. Außerdem sind sie wegen \(\overline {AD} = \overline {AC} \) gleichschenklig. Daher gilt für die Seitenverhältnisse

$$\frac{{\overline {AD} }}{{\overline {QC} }} = \frac{{\overline {QC} }}{{\overline {QD} }}.$$

C. Stanley Ogilvy

10. Winkeldreiteilung

Zusammenfassung

Obwohl wir oft von den „drei“ großen ungelösten Problemen des Altertums gelesen haben, so waren es in Wirklichkeit vier Probleme: Quadratur des Kreises, Verdopplung des Würfels, Dreiteilung des Winkels und die Konstruktion des allgemeinen regelmäßigen Vielecks. Alle Probleme sollten mit Zirkel und Lineal gelöst werden, den einzigen in der Euklid-Geometrie zugelassenen Zeichengeräten. Zwei Jahrtausende blieben sie ungelöst, erst im 19. Jahrhundert wurde ihre Unlösbarkeit bewiesen. Zu beweisen, daß ein Problem nicht unter vorgeschriebenen Bedingungen und Regeln gelöst werden kann, ist an sich einer Lösung gleichwertig, insofern damit das Problem aus der Liste der unerledigten Angelegenheiten ein für allemal gestrichen werden kann.

C. Stanley Ogilvy

11. Einige ungelöste Probleme der modernen Geometrie

Zusammenfassung

Die berühmten historischen Probleme des vorigen Kapitels sind alle zufriedenstellend erledigt worden. Was bleibt noch zu tun? Die meisten gegenwärtigen Forschungen in der Mathematik überschreiten den Rahmen dieses Buches; wir können aber vielleicht einige Dinge andeuten, die die Geometer von heute beschäftigen.

C. Stanley Ogilvy

Anmerkungen

Zusammenfassung

Die Zahlenangaben beziehen sich auf den betreffenden Abschnitt.

C. Stanley Ogilvy

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