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2017 | OriginalPaper | Chapter
4. Verallgemeinerte Zufallsfelder
Author : Stefan Schäffler
Published in: Verallgemeinerte stochastische Prozesse
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Seien \((\Omega,{\cal{S}},\mathbb{P})\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \((H,{\cal{H}},\mu)\) ein Maßraum. Mit bezeichnen wir einen stochastischen Prozess \((X_{M})_{M\in{\cal{H}}_{\mu}}\) bestehend aus reellen Zufallsvariablen als Mengen-indiziertes Zufallsfeld. Der stochastische Prozess \((X_{M})_{M\in{\cal{H}}_{\mu}}\) wird als μ-Rauschen bezeichnet, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:Fordert man zudem, dass die Zufallsvariablen X
M
gemeinsam normalverteilt sind, so spricht man von einem Gaußschen μ-Rauschen. Wählt man zum Beispiel so gibt es nach [AdTay07] ein entsprechendes Gaußsches μ-Rauschen.
$${\cal{H}}_{\mu}:=\{M\in{\cal{H}};\,\mu(M)<\infty\}$$
$$X_{M}:\Omega\to\mathbb{R}$$
$$\mathscr{C}(X_{M_{1}},X_{M_{2}})=\mu(M_{1}\cap M_{2})\quad\text{f{\"u}r alle}\quad M_{1},M_{2}\in{\cal{H}}_{\mu},$$