Versicherungsmathematik

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Einleitung

Zusammenfassung

Versicherungsverträge können Schäden nicht verhindern. Sie bieten jedoch einen Schutz vor den finanziellen Folgen von Schäden. Der Preis für diesen Schutz ist die Prämie, die der Versicherungsnehmer an das Versicherungsunternehmen entrichtet. Die entscheidende Frage lautet: Wie hoch muß die Prämie sein, damit das Versicherungsunternehmen sein Leistungsversprechen gegenüber dem Versicherungsnehmer erfüllen kann?

Klaus D. Schmidt

Kapitel 1. Finanzmathematik

Zusammenfassung

Gegenstand der elementaren Finanzmathematik sind die Bewertung und damit auch der Vergleich von Zahlungsplänen, bei denen Zahlungen in periodischen Abständen erfolgen und verzinst werden.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 2. Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind mathematische Modelle, die die zufällige Erzeugung von Daten beschreiben, und mathematische Methoden, mit denen Folgerungen aus den Annahmen solcher Modelle gezogen werden können.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 3. Zufallsvariable und ihre Verteilungen

Zusammenfassung

Bei der Wahl eines Wahrscheinlichkeitsraumes als Modell für ein Zufallsexperiment ist es häufig erforderlich, eine große Ergebnismenge zu wählen, um die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse plausibel festlegen zu können. Andererseits ist man in vielen Fällen nur an den Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse interessiert, die sich durch eine Abbildung von der Ergebnismenge in die reellen Zahlen beschreiben lassen.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 4. Momente von Zufallsvariablen

Zusammenfassung

Die Erwartungswerte bestimmter Funktionen einer Zufallsvariablen werden als Momente bezeichnet. Momente sind beispielsweise der Erwartungswert der Zufallsvariablen und der Erwartungswert der quadratischen Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Momente einer Zufallsvariablen charakterisieren zu einem gewissen Grad ihre Verteilung und können dazu verwendet werden, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse, die durch die Zufallsvariable definiert sind, abzuschätzen.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 5. Lebensversicherung

Zusammenfassung

Die Lebensversicherung ist ein wichtiger Versicherungszweig. Bezüglich der Leistungen eines Lebensversicherungsvertrages sind zwei Grundformen der Lebensversicherung zu unterscheiden: Die Versicherung auf den Todesfall, die Schutz vor den finanziellen Folgen des Todes der versicherten Person gewährt, und die Versicherung auf den Erlebensfall, die der Versorgung im Alter dient. Diese Grundformen der Lebensversicherung, die unterschiedlichen Bedürfnissen der Versicherungsnehmer entsprechen, werden oft zu einer gemischten Versicherung zusammengefaßt.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 6. Gesamtschaden im individuellen Modell

Zusammenfassung

Ein Grundgedanke der Versicherung besteht darin, mehrere Risiken zu einem Bestand zusammenzufassen; ein Bestand, der auch als Kollektiv oder Portefeuille von Risiken bezeichnet wird, ist also eine Teilmenge der Menge aller bei einem bestimmten Versicherungsunternehmen versicherten Risiken. Mit der Bildung von Beständen ist die Erwartung verbunden, daß große und kleine Schäden der Risiken eines Bestandes einander weitgehend ausgleichen; man spricht daher auch von einem Ausgleich im Kollektiv.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 7. Gesamtschaden im kollektiven Modell

Zusammenfassung

Im kollektiven Modell für den Gesamtschaden eines Bestandes von Risiken wird der Gesamtschaden als die Summe der Schadenhöhen aller Schäden, die im Laufe eines Jahres durch die Risiken des Bestandes verursacht werden, definiert. Dabei ist es ohne Bedeutung, durch welches Risiko ein bestimmter Schaden verursacht wird.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 8. Rückversicherung

Zusammenfassung

Versicherungsunternehmen gewähren ihren Versicherungsnehmern Schutz vor großen Schäden, aber häufig benötigen sie auch selbst einen derartigen Schutz: So wie Versicherungsnehmer, die nicht selbst Versicherungsunternehmen sind, sich bei einem Erstversicherer versichern, versichern sich Erstversicherer bei einem Rückversicherer. In beiden Fällen kommt das Prinzip vom Ausgleich im Kollektiv zum Tragen: Während im Bestand eines Erstversicherers die Schäden seiner Versicherungsnehmer ausgeglichen werden, werden im Bestand eines Rückversicherers die Schäden seiner Erstversicherer ausgeglichen.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 9. Vergleich von Risiken

Zusammenfassung

Ob, zu welchen Bedingungen und zu welchem Preis ein Versicherungsvertrag zustande kommt, hängt von vielen Faktoren ab: Gesetzliche Bestimmungen, wie etwa die Pflicht zum Abschluß einer Kraftfahrt-Haftpflichtversicherung, schränken die Vertragsfreiheit ein und der Wettbewerb begrenzt die Höhe der Prämie. Versicherungsrecht und Versicherungsmarkt wirken zudem auf die Ausgestaltung der Bedingungen des Vertrages.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 10. Kalkulation von Prämien

Zusammenfassung

Die Kalkulation von Prämien ist ein zentraler Gegenstand der Versicherungsmathematik: Nur ausreichende Prämien gewährleisten, daß ein Versicherungsunternehmen sein Leistungsversprechen gegenüber den Versicherungsnehmern mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einlösen kann.

Klaus D. Schmidt

Kapitel 11. Reservierung für Spätschäden

Zusammenfassung

Am Ende eines Geschäftsjahres sind meist nicht alle Schäden, die in diesem Geschäftsjahr eingetreten sind, abschließend reguliert; diese Schäden werden als Spätschäden bezeichnet. Spätschäden entstehen aus zwei Gründen:

• Ein Schaden ist entstanden, aber noch nicht gemeldet (IBNR = incurred but not reported).
• Ein Schaden ist gemeldet, aber die Höhe des Schadens läßt sich noch nicht bestimmen; daher ist die für die Regulierung dieses Schadens gebildete Einzelschadenreserve unter Umständen zu gering (IBNER = incurred but not enough reserved).

Klaus D. Schmidt

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