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2021 | Book

Motivation und Voraussetzungen Read chapter Read first chapter

Algebra

Geeignet zum Selbststudium oder für Online-Vorlesungen

Author: Prof. Dr. Marco Hien

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.

Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.

Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.

Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Motivation und Voraussetzungen
Zusammenfassung
Ein einführendes Kapitel, indem die Ziele erklärt werden: algebraische Strukturen zu untersuchen und Poynomgleichungen mit Hilfe der Galoistheorie besser zu verstehen.
Marco Hien
Kapitel 2. Körpererweiterungen und algebraische Elemente
Zusammenfassung
Beginnt man mit einem Grundkörper K und einer Polynomgleichung mit Koeffizienten in K, kommt man schnell zu der Situation, einen größeren Körper \(L \supset K \) hinzuzuziehen, der die Lösungen enthält. Dies führt zum Begriff der Körpererweiterung L|K. Wir untersuchen erste Erkenntnisse darüber, die wir aus der Linearen Algebra erhalten.
Marco Hien
Kapitel 3. Gruppen
Zusammenfassung
Wir beginnen damit, algebraische Strukturen zu untersuchen und widmen uns als erstes den Gruppen. Deren Definition ist sehr einfach, dadurch sind sie aber auch sehr flexibel und im Allgemeinen schwierig zu klassifizieren. In diesem Kapitel lernen wir die grundlegenden Eigenschaften kennen, später gehen wir nochmals auf tiefere Eigenschaften ein.
Marco Hien
Kapitel 4. Gruppenquotienten und Normalteiler
Zusammenfassung
Die Bildung von Faktorgruppen ist eine sehr wichtige Konstruktion, später werden wir bei den Ringen ein analoges Konzept sehen. Wir führen den Begriff des Gruppenquotienten modulo einer Untergruppe in diesem Kapitel ein und werden untersuchen, wann die resultierende Menge die Gruppenstruktur erbt.
Marco Hien
Kapitel 5. Ringe und Ideale
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir die nächste algebraische Struktur – die der Ringe, bei uns eigentlich immer kommutativ mit Eins. Wir zeigen grundlegende Eigenschaften auf. Insbesondere besprechen wir den Begriff eines Ideals, der analog zu den Faktorgruppen zu Faktorringen führt. Speziellere Eigenschaften werden in den folgenden Kapiteln besprochen.
Marco Hien
Kapitel 6. Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe
Zusammenfassung
Im Ring \(\mathbb {Z}\) nutzt man oft besondere Eigenschaften: \(\mathbb {Z}\) ist Hauptidealbereich, man hat eine Division mit Rest, man hat eindeutige Primfaktorzerlegung, man hat einen ggT, \(\ldots \) Ähnliche Eigenschaften hat der Ring K[X] für einen Körper K. Wir wollen in den nächsten beiden Kapiteln solche (schönen) Eigenschaften, die Ringe haben können, abstrakt untersuchen – und auch Beispiele von Ringen sehen, die diese nicht haben.
Marco Hien
Kapitel 7. Faktorielle Ringe
Zusammenfassung
Ein wichtiges Hilfsmittel im Rechnen in \(\mathbb {Z}\) ist die eindeutige Primfaktorzerlegung. Auch das wollen wir abstrahieren – und wir werden wieder sehen, dass nicht jeder Ring diese Eigenschaft hat.
Marco Hien
Kapitel 8. Quotientenkörper für Integritätsbereiche
Zusammenfassung
Ein kurzes Kapitel, das allgemein imitiert, wie man von \(\mathbb {Z}\) zu \(\mathbb {Q}\) gelangt ist.
Marco Hien
Kapitel 9. Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen
Zusammenfassung
Im Allgemeinen ist es für einen Körper K und ein explizit gegebenes Polynom \(f(X) \in K[X] \) schwierig zu entscheiden, ob f irreduzibel ist oder nicht. Das ist aber für die weitere Untersuchung der Nullstellen von f in der Galoistheorie enorm wichtig. In diesem Kapitel entwickeln wir Techniken, die uns dabei helfen können, wenn der Körper K der Quotientenkörper eines faktoriellen Rings R ist. Im Fall \(K=\mathbb {Q}\) ist das mit \(R=\mathbb {Z}\) der Fall.
Marco Hien
Kapitel 10. Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A’
Zusammenfassung
Wir beginnen mit der Galoistheorie. In diesem Kapitel lernen wir den Begriff des Zerfällungskörpers eines Polynoms kennen. Zudem beweisen wir zwei Sätze über die Existenz von Körperhomomorphismen bzw. deren Fortsetzungen. Wir nennen diese Sätze Satz A und Satz A’. Sie bilden den Kern der Galoistheorie.
Marco Hien
Kapitel 11. Intermezzo – explizites Beispiel
Zusammenfassung
Wir wiederholen das, was wir bisher zum Thema Galoistheorie erarbeitet haben an diesem expliziten Beispiel. Es ist eine erste Anwendung allein der Tatsache, dass die Galoisgruppe eine Gruppe ist und als Untergruppe in der Gruppe S(5) gelesen werden kann. Ohne die Nullstellen explizit gut zu kennen, können wir dadurch die Galosigruppe berechnen. Im Kap. 18 werden wir sehen, dass daraus folgt, dass die Nullstellen nicht wie in einer Mitternachtsformel als algebraischer Ausdruck mit sukzessiven Wurzeln geschrieben werden können.
Marco Hien
Kapitel 12. Normale Körpererweiterungen
Zusammenfassung
Wir haben in vorhergehenden Kapiteln gesehen, dass für eine algebraische Körpererweiterung L|K und einen algebraischen Abschluss \(\Omega \) von L die Menge \(\mathrm {Hom}_{K}(L,\Omega ) \) eine wichtige Rolle spielt. Wir definieren nun normale Körpererweiterungen L|K und sehen, dass dann bereits \(\mathrm {Hom}_{K}(L,\Omega )=\mathrm {Aut}_{K}(L) \) gilt.
Marco Hien
Kapitel 13. Separabilität
Zusammenfassung
In Kap. 10 haben wir gesehen, dass es wichtig ist, zu untersuchen, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen in einem algebraischen Abschluss hat. Dieses Kapitel klärt diese Frage.
Marco Hien
Kapitel 14. Galoistheorie (II) – der Hauptsatz
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Hauptsatz der Galoistheorie formuliert und bewiesen. Zudem bereiten wir die Anwendung auf die Frage nach einer Lösungsformel für Polynomgleichungen höheren Grades vor.
Marco Hien
Kapitel 15. Kreisteilungskörper
Zusammenfassung
Die Zerfällungskörper eines Polynoms der Form \(X^n-1 \) sind interessante Beispiele, die man mit Hilfe der Galoistheorie sehr gut versteht. Wir werden diese zunächst in einem allgemeinen Körper betrachten, dann aber speziell den Fall \(K=\mathbb {Q}\) als Grundkörper untersuchen.
Marco Hien
Kapitel 16. Endliche Körper
Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir, welche endlichen Körper es gibt und wie diese miteinander in Verbindung stehen. Die Antwort auf letztere Frage wird uns die Galoistheorie liefern.
Marco Hien
Kapitel 17. Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow
Zusammenfassung
Wir betrachten in diesem Kapitel Gruppenoperationen. Viele Gruppen sind gerade dadurch definiert, dass sie auf natürliche Weise auf Mengen (oder geometrischen Strukturen beispielsweise) operieren. Wir beweisen grundlegende Aussagen über solche Gruppenoperationen, vor allem im Fall von Wirkungen endlicher Gruppen auf endlichen Mengen. Zudem formulieren und beweisen wir die Sylow-Sätze, die als ein wichtiger Schritt im Versuch, endliche Gruppen zu klassifizieren, Anwendung finden.
Marco Hien
Kapitel 18. Auflösbarkeit von Polynomgleichungen
Zusammenfassung
Wir beweisen als Anwendung der Galoistheorie, dass es Polynomgleichungen \(f(X)=0 \) über \(\mathbb {Q}\) der Ordngung \(\deg (f)\ge 5 \) gibt, deren Lösungen nicht durch Radikale auflösbar sind. Betrachtet man die allgemeine Gleichung, sieht man analog, dass es keine Lösungsformel für Polynomgleichungen ab Grad 5 geben kann.
Marco Hien
Backmatter
Metadata
Title
Algebra
Author
Prof. Dr. Marco Hien
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-63778-4
Print ISBN
978-3-662-63777-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63778-4

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