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About this book

Dieses Buch beinhaltet die Grundlagen der Algebra.

Neben den elementaren algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe und Körper wird insbesondere die Galoistheorie zusammen mit ihren Anwendungen auf die Kreisteilungskörper, die endlichen Körper oder die Frage nach der Auflösung von Polynomgleichungen entwickelt.

Besonderes Augenmerk wird dabei auf die natürliche Entwicklung der Inhalte gelegt. Zahlreiche Zwischenerklärungen unterstützen diese Grundidee, zeigen Verbindungen auf und helfen, die zu Grunde liegenden Konzepte besser zu durchdringen.

Das Buch eignet sich deshalb im Besonderen, die Algebra im Selbststudium oder begleitend zu Online-Vorlesungen zu erlernen.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Motivation und Voraussetzungen

Zusammenfassung
Ein einführendes Kapitel, indem die Ziele erklärt werden: algebraische Strukturen zu untersuchen und Poynomgleichungen mit Hilfe der Galoistheorie besser zu verstehen.
Marco Hien

Kapitel 2. Körpererweiterungen und algebraische Elemente

Zusammenfassung
Beginnt man mit einem Grundkörper K und einer Polynomgleichung mit Koeffizienten in K, kommt man schnell zu der Situation, einen größeren Körper \(L \supset K \) hinzuzuziehen, der die Lösungen enthält. Dies führt zum Begriff der Körpererweiterung L|K. Wir untersuchen erste Erkenntnisse darüber, die wir aus der Linearen Algebra erhalten.
Marco Hien

Kapitel 3. Gruppen

Zusammenfassung
Wir beginnen damit, algebraische Strukturen zu untersuchen und widmen uns als erstes den Gruppen. Deren Definition ist sehr einfach, dadurch sind sie aber auch sehr flexibel und im Allgemeinen schwierig zu klassifizieren. In diesem Kapitel lernen wir die grundlegenden Eigenschaften kennen, später gehen wir nochmals auf tiefere Eigenschaften ein.
Marco Hien

Kapitel 4. Gruppenquotienten und Normalteiler

Zusammenfassung
Die Bildung von Faktorgruppen ist eine sehr wichtige Konstruktion, später werden wir bei den Ringen ein analoges Konzept sehen. Wir führen den Begriff des Gruppenquotienten modulo einer Untergruppe in diesem Kapitel ein und werden untersuchen, wann die resultierende Menge die Gruppenstruktur erbt.
Marco Hien

Kapitel 5. Ringe und Ideale

Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir die nächste algebraische Struktur – die der Ringe, bei uns eigentlich immer kommutativ mit Eins. Wir zeigen grundlegende Eigenschaften auf. Insbesondere besprechen wir den Begriff eines Ideals, der analog zu den Faktorgruppen zu Faktorringen führt. Speziellere Eigenschaften werden in den folgenden Kapiteln besprochen.
Marco Hien

Kapitel 6. Euklidische Ringe, Hauptidealringe, Noethersche Ringe

Zusammenfassung
Im Ring \(\mathbb {Z}\) nutzt man oft besondere Eigenschaften: \(\mathbb {Z}\) ist Hauptidealbereich, man hat eine Division mit Rest, man hat eindeutige Primfaktorzerlegung, man hat einen ggT, \(\ldots \) Ähnliche Eigenschaften hat der Ring K[X] für einen Körper K. Wir wollen in den nächsten beiden Kapiteln solche (schönen) Eigenschaften, die Ringe haben können, abstrakt untersuchen – und auch Beispiele von Ringen sehen, die diese nicht haben.
Marco Hien

Kapitel 7. Faktorielle Ringe

Zusammenfassung
Ein wichtiges Hilfsmittel im Rechnen in \(\mathbb {Z}\) ist die eindeutige Primfaktorzerlegung. Auch das wollen wir abstrahieren – und wir werden wieder sehen, dass nicht jeder Ring diese Eigenschaft hat.
Marco Hien

Kapitel 8. Quotientenkörper für Integritätsbereiche

Zusammenfassung
Ein kurzes Kapitel, das allgemein imitiert, wie man von \(\mathbb {Z}\) zu \(\mathbb {Q}\) gelangt ist.
Marco Hien

Kapitel 9. Irreduzible Polynome in faktoriellen Ringen

Zusammenfassung
Im Allgemeinen ist es für einen Körper K und ein explizit gegebenes Polynom \(f(X) \in K[X] \) schwierig zu entscheiden, ob f irreduzibel ist oder nicht. Das ist aber für die weitere Untersuchung der Nullstellen von f in der Galoistheorie enorm wichtig. In diesem Kapitel entwickeln wir Techniken, die uns dabei helfen können, wenn der Körper K der Quotientenkörper eines faktoriellen Rings R ist. Im Fall \(K=\mathbb {Q}\) ist das mit \(R=\mathbb {Z}\) der Fall.
Marco Hien

Kapitel 10. Galoistheorie (I) – Satz A und seine Variante A’

Zusammenfassung
Wir beginnen mit der Galoistheorie. In diesem Kapitel lernen wir den Begriff des Zerfällungskörpers eines Polynoms kennen. Zudem beweisen wir zwei Sätze über die Existenz von Körperhomomorphismen bzw. deren Fortsetzungen. Wir nennen diese Sätze Satz A und Satz A’. Sie bilden den Kern der Galoistheorie.
Marco Hien

Kapitel 11. Intermezzo – explizites Beispiel

Zusammenfassung
Wir wiederholen das, was wir bisher zum Thema Galoistheorie erarbeitet haben an diesem expliziten Beispiel. Es ist eine erste Anwendung allein der Tatsache, dass die Galoisgruppe eine Gruppe ist und als Untergruppe in der Gruppe S(5) gelesen werden kann. Ohne die Nullstellen explizit gut zu kennen, können wir dadurch die Galosigruppe berechnen. Im Kap. 18 werden wir sehen, dass daraus folgt, dass die Nullstellen nicht wie in einer Mitternachtsformel als algebraischer Ausdruck mit sukzessiven Wurzeln geschrieben werden können.
Marco Hien

Kapitel 12. Normale Körpererweiterungen

Zusammenfassung
Wir haben in vorhergehenden Kapiteln gesehen, dass für eine algebraische Körpererweiterung L|K und einen algebraischen Abschluss \(\Omega \) von L die Menge \(\mathrm {Hom}_{K}(L,\Omega ) \) eine wichtige Rolle spielt. Wir definieren nun normale Körpererweiterungen L|K und sehen, dass dann bereits \(\mathrm {Hom}_{K}(L,\Omega )=\mathrm {Aut}_{K}(L) \) gilt.
Marco Hien

Kapitel 13. Separabilität

Zusammenfassung
In Kap. 10 haben wir gesehen, dass es wichtig ist, zu untersuchen, ob ein irreduzibles Polynom mehrfache Nullstellen in einem algebraischen Abschluss hat. Dieses Kapitel klärt diese Frage.
Marco Hien

Kapitel 14. Galoistheorie (II) – der Hauptsatz

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Hauptsatz der Galoistheorie formuliert und bewiesen. Zudem bereiten wir die Anwendung auf die Frage nach einer Lösungsformel für Polynomgleichungen höheren Grades vor.
Marco Hien

Kapitel 15. Kreisteilungskörper

Zusammenfassung
Die Zerfällungskörper eines Polynoms der Form \(X^n-1 \) sind interessante Beispiele, die man mit Hilfe der Galoistheorie sehr gut versteht. Wir werden diese zunächst in einem allgemeinen Körper betrachten, dann aber speziell den Fall \(K=\mathbb {Q}\) als Grundkörper untersuchen.
Marco Hien

Kapitel 16. Endliche Körper

Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir, welche endlichen Körper es gibt und wie diese miteinander in Verbindung stehen. Die Antwort auf letztere Frage wird uns die Galoistheorie liefern.
Marco Hien

Kapitel 17. Mehr Gruppentheorie – Gruppenoperationen und Sylow

Zusammenfassung
Wir betrachten in diesem Kapitel Gruppenoperationen. Viele Gruppen sind gerade dadurch definiert, dass sie auf natürliche Weise auf Mengen (oder geometrischen Strukturen beispielsweise) operieren. Wir beweisen grundlegende Aussagen über solche Gruppenoperationen, vor allem im Fall von Wirkungen endlicher Gruppen auf endlichen Mengen. Zudem formulieren und beweisen wir die Sylow-Sätze, die als ein wichtiger Schritt im Versuch, endliche Gruppen zu klassifizieren, Anwendung finden.
Marco Hien

Kapitel 18. Auflösbarkeit von Polynomgleichungen

Zusammenfassung
Wir beweisen als Anwendung der Galoistheorie, dass es Polynomgleichungen \(f(X)=0 \) über \(\mathbb {Q}\) der Ordngung \(\deg (f)\ge 5 \) gibt, deren Lösungen nicht durch Radikale auflösbar sind. Betrachtet man die allgemeine Gleichung, sieht man analog, dass es keine Lösungsformel für Polynomgleichungen ab Grad 5 geben kann.
Marco Hien

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