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2018 | Book

Einleitung Read chapter Read first chapter

Brüche, Verhältnisse und Wurzeln

Grundlagen wiederentdecken und interessante Anwendungen neu kennenlernen

Author: Dr. Renate Motzer

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Book Series : essentials

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Renate Motzer führt in die Welt der Brüche ein und bringt sie in Verbindung mit Dezimalzahlen. Sie zeigt anschaulich, dass Brüche als Anteile eines Ganzen verstanden werden können, aber auch als Verhältnisse von zwei Größen. Die Autorin zeigt verständlich auf, warum Wurzeln nicht exakt durch Brüche angegeben werden können, wie man gute Näherungen findet und warum eine ungewöhnliche Bruchaddition zu paradoxen Ergebnissen führen kann. Weiterhin erläutert sie praxisnah die Anwendung von Brüchen beim Prozentrechnen und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und geht schließlich auf verschiedene Möglichkeiten ein, Mittelwerte zu bilden.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Die Beschäftigung mit Brüchen bringt immer auch einen Bruch mit bisherigen Zahlenvorstellungen mit sich. Ganze Zahlen haben eine eindeutige Darstellung. Jede Ziffernkonstellation steht für genau eine Zahl.
Renate Motzer
Kapitel 2. Was sind (gewöhnliche) Brüche?
Zusammenfassung
Viele würden sagen, es sind Zahlen, die man mit einem Bruchstrich schreibt, oben der Zähler, unten der Nenner. Das ist schon mal das Wesentlichste. Meistens denkt man an positive Zahlen, also dass Zähler und Nenner positive ganze Zahlen sind, d. h. natürliche Zahlen.
Renate Motzer
Kapitel 3. Brüche als Anteile von einem Ganzen
Zusammenfassung
Doch was soll man sich nun unter einem Bruch oder unter einer Bruchzahl vorstellen? Bei gewöhnlichen Brüchen denkt man meist als an Anteile von Stückgrößen oder von anderen Größen. Aufgefordert Anteile von Stückgrößen darzustellen könnte man zu Skizzen wie in Abb. 3.1.
Renate Motzer
Kapitel 4. Brüche als Verhältnisse
Zusammenfassung
Neben dem Größen- und dem Operatoraspekt (einen Anteil von etwas zu betrachten) ist der Verhältnisaspekt die dritte wichtige Grundvorstellung zum Bruchrechnen. Hier gibt es kein von vorn herein eindeutiges Ganzes, mit dem man alle auftretenden Brüchen (einschließlich des Ergebnisses einer Rechnung) in Beziehung setzt. Brüche als Verhältnisse spielen daher erst später in der Schule eine Rolle, etwa bei der Behandlung der Proportionalität (doppelter Preis für die doppelte Menge und ähnliches).
Renate Motzer
Kapitel 5. Ordnen von Brüchen
Zusammenfassung
Das Ordnen von Brüchen wurde schon beim Vergleich der Steigungen angesprochen. Für Brüche mit positivem Nenner und Zähler gilt: \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) genau dann, wenn ad < bc. Diese kann durch Bringen auf den Hauptnenner und anschließendes Vergleichen der Zähler erkannt werden oder indem man die Ungleichung mit dem Hauptnenner \((b \cdot d)\) durchmultipliziert.
Renate Motzer
Kapitel 6. Dezimalbrüche
Zusammenfassung
Vielen Menschen sind Dezimalbrüche vertrauter als gewöhnliche Brüche. Kommazahlen kommen im Alltag häufiger vor, bei Preisen mit zwei Kommastellen im Grunde ständig. Kommazahlen haben gegenüber gewöhnlichen Brüchen den Vorteil, dass man sie im Stellenwertsystem darstellen und damit auch viel leichter der Größe nach ordnen kann (vgl. Abb. 6.1).
Renate Motzer
Kapitel 7. Prozentrechnen
Zusammenfassung
Neben gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen begegnet man im Alltag häufig Prozentangaben. Preisnachlässe werden im Schaufenster meist durch große Prozentzeichen angedeutet – und das Unterbewusstsein ist sofort begeistert von einem möglichen Schnäppchen.
Renate Motzer
Kapitel 8. Irrationale Zahlen
Zusammenfassung
Irrationale Zahlen sind uns in diesem Büchlein schon mehrmals begegnet, allerdings nur am Rand. Wir haben beispielsweise festgestellt, dass Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, keine Brüche sein können. Wenn man einen Bruch nicht mehr kürzen kann, kann man sein Quadrat auch nicht kürzen (vgl. Abschn. 6.​1).
Renate Motzer
Kapitel 9. Wahrscheinlichkeiten
Zusammenfassung
„Wahrscheinlichkeit hat immer etwas mit Ungewissheit zu tun“ (Büchter und Henn 2004, S. 133). Je größer man eine Wahrscheinlichkeit angibt, desto gewisser scheint man sich zu sein.
Renate Motzer
Kapitel 10. Verschiedene Mittelwerte
Zusammenfassung
Meistens denkt man bei Mittelwerten an das arithmetische Mittel zwischen zwei Zahlen. Bei 1 und 2 würde man 1,5 als Mittelwert betrachten. Bei beliebigen Zahlen a und b den Wert \(\frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\).
Renate Motzer
Kapitel 11. Schluss
Zusammenfassung
Insgesamt hoffe ich, dass Sie in diesem Buch gesehen haben: es kann zwar immer wieder sein, dass man sich im Leben mit Brüchen beschäftigen muss (und manchmal wird es sogar irrational). Aber wenn man hinschaut, kann man die Verhältnisse doch wieder ordnen und findet vielleicht eine harmonische Mitte.
Renate Motzer
Backmatter
Metadata
Title
Brüche, Verhältnisse und Wurzeln
Author
Dr. Renate Motzer
Copyright Year
2018
Electronic ISBN
978-3-658-20370-2
Print ISBN
978-3-658-20369-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-20370-2

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