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2021 | OriginalPaper | Chapter

20. Design-Based Research in der Hochschullehre am Beispiel der Lehrveranstaltung „Einführung in die Kultur der Mathematik“

Authors : Leander Kempen, Rolf Biehler

Published in: Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

An der Universität Paderborn wurde von 2011 bis 2016 die Lehrveranstaltung „Einführung in die Kultur der Mathematik“ für Lehramtsstudierende (Haupt-/Real-/Gesamtschule) nach dem Paradigma des Design-Based Research (weiter-)entwickelt. Ein Fokus der Lehrveranstaltung bestand darin, Lehramtsstudierende prozessorientiert in das mathematische Beweisen einzuführen und ihnen gleichsam Beweisformen zu vermitteln, die sie bei ihrer späteren Lehrtätigkeit an der Schule verwenden können. In diesem Kontext sollte auch die fachmathematische Symbolsprache sinnstiftend eingeführt und vermittelt werden. Grundlegend für dieses Lehrkonzept sind die Einbettung verschiedener Beweisformen in den Kontext von exemplarischen Forschungsprojekten, das Extrahieren von Vermutungen aus der Untersuchung von Beispielen, die Formulierung von Behauptungen und die Konstruktion entsprechender Beweise. Ergebnisse des forschungsbasierten fachdidaktischen Entwicklungsprozesses sind u. a. Lernumgebungen, um das Beweisen prozessorientiert zu vermitteln, und geeignete Beweisaufgaben für die Konstruktion sogenannter „multiple proof tasks“. In dem Artikel wird ein Einblick in die fachdidaktische Entwicklungsforschung entsprechend dem Forschungsparadigma des Design-Based Research gegeben und daraus resultierende Lehr-Lern-Materialien vorgestellt.

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Vgl. etwa den Aspekt „Mathematik als kreatives und intellektuelles Handlungsfeld“ im Kernlehrplan Mathematik für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen, S. 11.

Im weiteren Verlauf des Artikels werden wir allgemein von „Diagrammsystemen“ sprechen. Unter „Diagrammsystem“ verstehen wir in Bezug auf die semiotische Erkenntnistheorie von Peirce (vgl. Hoffmann 2005) das ein Diagramm rahmende System aus Darstellungs- und Transformationsregeln. Beispiele für Darstellungssysteme sind etwa die Symbolsprache der Algebra oder Punktmusterdarstellungen.

Für die Ausbildung bzw. Etablierung soziomathematischer Normen ist es grundlegend, dass (implizit oder explizit) entsprechende Normen angeboten werden. In diesem Fall erfolgte das Hereintragen von Normen explizit durch den Dozenten. Die weitere Entwicklung dieser Normen (im Kontext etwa von Aufgabenbearbeitungen, Aufgabenkorrektur, Tutorenrückmeldung, Lerngruppen etc.) ist dann als (impliziter) Aushandlungsprozess soziomathematischer Normen zu verstehen.

„Teilbarkeit einer Zahl \(a\;\in \;{\mathbb{N}}\) durch eine Zahl \(b\;\in \;{\mathbb{N}}\) ist gegeben, wenn der Quotient \(\frac{a}{b}\) eine natürliche Zahl ist.“ – In dieser Definition von Teilbarkeit wird implizit von der Einbettung der natürlichen Zahlen in die rationalen Zahlen Gebrauch gemacht. Im Sinne der Anknüpfung an schulisches Vorgehen erscheint uns dieser Zugang zur Teilbarkeit legitim. Eine Elaboration des Teilbarkeitsbegriffs erfolgt später.

„Eine Zahl \(a\;\in \;{\mathbb{N}}\) ist durch \(b\;\in \;{\mathbb{N}}\) teilbar, wenn ein \(n\;\in \;{\mathbb{N}}\) existiert, sodass \(a = b \cdot n\).“

Aufgabenstellung: Wir betrachten die folgende Behauptung: „Die Summe von sechs aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer ungerade.“. Beweisen Sie die Behauptung mit (a) einem generischen Beweis mit Zahlen, (b) einem formalen Beweis mit Mitteln der Algebra, (c) einem generischen Punktmusterbeweis und (d) einem Punktmusterbeweis mit geometrischen Variablen.

Für eine ausführliche Darstellung der Studie inklusive Kategoriensystem und umfassenderen Ergebnissen siehe Kempen (2019, S. 264 ff.).

Zentral ist bei dieser Beweisform, dass das allgemeingültige Beweisargument an einem konkreten Beispiel dargestellt und anschließend verallgemeinert, also auf alle mögliche Fälle ausgeweitet wird. In der internationalen Diskussion werden entsprechende Beweise auch als „generische Beweise“ (etwa Dreyfus et al. 2012) bezeichnet, weswegen diese Begrifflichkeit auch in die Lehrveranstaltung übernommen wurde.

Diese Aufgabe entstammt Leuders (2010, S. 41).

\(D_{n}\) steht im Folgenden für die \(n\)-te Dreieckszahl, die sich als Summe der ersten \(n \in {\mathbb{N}}\) aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ergibt: \(D_{1} = 1, D_{2} = 1 + 2 = 3, D_{3} = 1 + 2 + 3 = 6, \ldots\)

Im zweiten Kapitel der Lehrveranstaltung werden „figurierte Zahlen“ thematisiert. In diesem Kontext beschäftigen sich die Studierenden auch ausführlich mit den Dreieckszahlen.

Die Aufgabenstellung war hierbei die gleiche wie in der Studie in Abschn. 20.5.3.2.

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Title: Design-Based Research in der Hochschullehre am Beispiel der Lehrveranstaltung „Einführung in die Kultur der Mathematik“
Authors: Leander Kempen
Rolf Biehler
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Book: Lehrinnovationen in der Hochschulmathematik
Print ISBN: 978-3-662-62853-9

Electronic ISBN: 978-3-662-62854-6

Copyright Year: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62854-6_20

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