2. Differenziation

Man unterscheidet in den Bezeichnungen nicht immer deutlich zwischen der Geschwindigkeit und ihrer Norm, der Schnelligkeit. Aus dem Zusammenhang sollte das Gemeinte deutlich werden. Im Englischen hat man zur Unterscheidung die Vokabeln „velocity“ und „speed“.

Die Natur ist bestrebt, stationäre Punkte zu erreichen.

Die \(n\)-te Ableitung \(f^{(n)}\) wird häufig auch mit \(d^{n}f/dx^{n}\) oder ähnlich bezeichnet.

Es handelt sich um die sogenannten Hauptzweige dieser Funktionen, vgl. Bemerkung 2.2.9.

Wegen \(a=\mathrm{e}^{\ln|a|-\mathrm{i}\pi}\) für \(a<0\) hätten wir \(a^{z}\) auch durch \(\exp\big(z(\ln|a|-\mathrm{i}\pi)\big)\) erklären können. Solche Willkür lässt sich grundsätzlich nicht vermeiden, siehe auch die Bemerkung 2.2.9 weiter unten.

Es handelt sich wieder um die Hauptzweige dieser Funktionen, vgl. Bemerkung 2.2.9.

Dass der Konvergenzradius \(\geq 1\) ist, folgt bereits aus der allgemeinen Abschätzung in Satz 1.​2.​16.

Man kann den Abelschen Grenzwertsatz vermeiden: Sei dazu \(\varepsilon_{m}\), \(m\in\mathbb{N}\), eine Nullfolge in \(\mathbb{R}_{+}\). Dann konvergiert die Reihe \(\sqrt{x^{2}+\varepsilon_{m}^{2}}\), \(m\in\mathbb{N}\), gleichmäßig (auf \(\mathbb{R}\)) gegen \(|x|\), und bei \(0<\varepsilon<1\) konvergiert \(\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}(x^{2}+\varepsilon^{2}-1)^{n}\) für \(|x|\leq\sqrt{2(1-\varepsilon^{2})}\), d. h. \(|x^{2}+\varepsilon^{2}-1|\leq 1-\varepsilon^{2}\), gleichmäßig gegen \(\sqrt{x^{2}+\varepsilon^{2}}\).

Man kann hier \(\mathbb{K}\) durch einen beliebigen Körper der Charakteristik \(0\) ersetzen.

Auf diese Weise ließe sich Satz 2.2.17 vollständig auf das Studium der Potenzreihen der Form \(\sum_{k=1}^{\infty}z^{k}/k^{s}\) zurückführen.

Für komplex-differenzierbare Funktionen stellt sich dieses Problem nach Bemerkung 2.1.15 nicht.

Bei vielen Autoren bezeichnet der Index \(n\) der Catalanschen Zahl \(c_{n}\) die Anzahl der im Produkt auftretenden Verknüpfungen statt die Anzahl der Faktoren. Dann verringert sich dieser Index um \(1\).

„Wesentlich verschieden“ bedeutet, dass zwei Färbungen identifiziert werden, die durch Drehung des \((2n-1)\)-Ecks auseinander hervorgehen.

Solche Permutationen heißen auch Zick-Zack-Permutationen.

Man beachte, dass die Existenz von \(U_{0}\) trivial ist, wenn \(V\) endlichdimensional ist. Man wählt dann für \(U_{0}\) einfach einen Unterraum maximaler Dimension in \(\mathcal{U}\).

Ist etwa \(|f(t)|\geq\varepsilon> 0\) für alle \(t\in{[}a,b{]}\) und ist \(|f(t)-f(s)|\leq\varepsilon\) für alle \(s,t\in{[}a,b{]}\) mit \(|t-s|\leq\delta\) (\(f\) ist nach 14 , Satz 3.9.12 gleichmäßig stetig), so brauchen \(t_{0},\ldots,t_{m}\) nur so gewählt zu werden, dass \(|t_{j+1}-t_{j}|\leq\delta\) ist, \(j=0,\ldots,m-1\).

Wir nehmen an, dass der Verbrauch eine konvexe Funktion der Geschwindigkeit ist.

Übrigens ist \(\lim f^{\prime}(x_{n})=f^{\prime}(\widetilde{c})\), da \(f^{\prime}\) stetig ist, vgl. Aufg. 2.5.8.

Daher spricht man von der unkonditionierten Regula falsi.

Für die zugehörigen zahlentheoretischen Funktionen \((a_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) und \((b_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) schreibt man das Faltungsprodukt \((c_{n})_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) meist in der Form \((a_{n})_{n}*(b_{n})_{n}\), um es von dem gewöhnlichen Produkt \((a_{n}b_{n})_{n}\) zu unterscheiden.

Vgl. Odlyzko, A. M., te Riele, H. J. J.: Disproof of the Mertens conjecture. Journal f. d. reine u. angew. Math. 357, 138–160 (1985).

\(M_{\mathrm{ab}}\), ist das Quotientenmonoid \(M/R\) bzgl. der kleinsten kompatiblen Äquivalenzrelation \(R\) auf \(M\), die die Paare \((mm^{\prime},m^{\prime}m)\), \(m,m^{\prime}\in M\), enthält. Ist \(M\) eine Gruppe, so ist \(M_{\mathrm{ab}}\) die Restklassengruppe \(M/{[}M,M{]}\) von \(M\) nach der Kommutatorgruppe \(\mathop{\mathrm{D}}(M)={[}M,M{]}\) von \(M\), vgl. 14 , Beispiel 2.3.10.

Zum Begriff der exakten Sequenz siehe 14 , Beispiel 2.4.16.

Sonst arbeitet man mit dem Zornschen Lemma.

In 14 , Beispiel 2.7.10 haben wir eine Zerlegung von \(\mathbf{A}_{m}^{\times}\) als direktes Produkt von zyklischen Gruppen explizit angegeben, womit sich die Charaktere von \(\mathbf{A}_{m}^{\times}\) gut überblicken lassen und sich insbesondere die Gleichung \(|\widehat{\mathbf{A}}_{m}^{\times}|=\varphi(m)\) ergibt. Man erhält sogar die Isomorphie \(\widehat{\mathbf{A}}_{m}^{\times}\cong\mathbf{A}_{m}^{\times}\).

\(P_{1}\) ist keine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf \(\mathbb{N}^{*}\). Für jede endliche Teilmenge \(N\subseteq\mathbb{N}^{*}\) ist \(P_{1}(N)=0\). Es gibt Teilmengen \(N\subseteq\mathbb{N}^{*}\), für die \(P_{1}(N)\) nicht existiert, vgl. das Ende von Beispiel 3.​4.​17.

Die Gleichung \(\lim_{n\to\infty}\pi(n)/n=0\) lässt sich aber elementar beweisen. Einen schönen Beweis, der nur benutzt, dass \(\sum_{p\in\mathbb{P}}1/p=\infty\) ist, oder (äquivalent dazu, dass \(\lim_{k\to\infty}\prod_{j=1}^{k}(1-p_{j}^{-1})=0\) ist für die Folge \(p_{1},p_{2},\ldots\) der Primzahlen), findet man in Abschnitt 2.7 von Hardy, G. H.; Wright, E. M.: An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford.

F. Benford fand dieses Gesetz empirisch, vgl. die Arbeit „The law of anomalous numbers“ in Proc. Am. Phil. Soc. 78, 551–572 (1938).

Für \(n\in\mathbb{N}^{*}\) ist \(\operatorname{rad}n=\prod_{p\mathrel{|}n}p\) das sogenannte Radikal von \(n\).

Ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzungen definiert man die Nullstellenordnung in \(a\) einer in \(a\) stetigen Funktion \(f\) als das Supremum der \(\alpha\in\mathbb{R}_{+}\) mit \(f(x)=\textsl{O}\big(|x-a|^{\alpha}\big)\) für \(x\to a\), vgl. auch das Ende von Beispiel 3.8.13 in 14 . Welche Nullstellenordnung hat nach dieser Definition die Funktion \(f\colon{[}0,1{[}\to\mathbb{R}\) mit \(f(0)=0\) und \(f(x)=1/\ln x\) für \(x> 0\) im Punkt \(a=0\)?