2018 | OriginalPaper | Chapter
3. Integration
Authors : Uwe Storch, Hartmut Wiebe
Published in: Analysis einer Veränderlichen
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Integrale von Funktionen einer reellen (oder auch komplexen) Variablen mit Hilfe von Stammfunktionen eingeführt. Wir leiten die zugehörigen Rechenregeln her und zeigen, dass stetige Funktionen stets Stammfunktionen besitzen. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung schafft die Verbindung zum Flächenbegiff und ermöglicht es, Flächeninhalte und auch einfache Volumina sowie Kurvenlängen zu berechnen. Auf den Zusammenhang mit Riemannschen Summen und der Riemann-Integrierbarkeit wird kurz eingegangen, der wichtigere Begriff der Lebesgue-Integrierbarkeit bleibt aber Bd. 6 über Maß- und Integrationstheorie vorbehalten. Breiten Raum nehmen uneigentliche Integrale ein, insbesondere die Gamma-Funktion und damit verwandte Integrale sowie die elliptischen Integrale. Außerdem behandeln wir die Eulersche Summenformel und wenden sie auf Methoden zur numerischen Integration wie das Romberg-Verfahren an. Weitere Themen des Kapitels sind die Riemannsche Zeta-Funktion, Hutfunktionen, Doppelintegrale und Windungszahlen.