Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Flächen im dreidimensionalen Raum beschreibt man häufig durch eine Parameterdarstellung. Jedem Punkt P der Fläche M wird dabei durch eine Abbildung ϕ ein Paar von Parameterwerten u und υ zugeordnet. Die Abbildung ϕ von M zur Parametermenge Г ⊆ ℝ2 soll bijektiv, also umkehrbar sein. Eine Parameterdarstellung wird im allgemeinen durch Angabe der die Umkehrabbildung ϕ−1 beinhaltenden drei reellwertigen Funktionen formuliert, d.h. die drei kartesischen Koordinaten x,y,z sind als Funktionen von u und υ gegeben. Es sei hier an die üblichen Darstellungen einer Zylinderfläche durch die drei Gleichungen x = r cos u, y = r sin u, z = υ für (u,υ) ∈ Г = (0,2π) × ℝ und einer Kugeloberfläche durch x = r sin u cos υ, y = r sin u sin υ, z = r cos u für (u,υ) ∈ Г = (0,π) × (0,2π) mit den geometrischen Interpretationen entsprechend Bild 1.1 erinnert.