Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung

Im vorliegenden Band wird die Integralrechnung für Funktionen mit mehreren Variablen dargestellt. Die einleitenden Ausführungen haben das Ziel, dem Leser die wesentlichen Dinge, die ihm in diesem Buch begegnen, vorzustellen und die Querverbindungen zu den Anwendungen aufzuzeigen. Beim Studium der einzelnen Kapitel des Buches sollte sich der Leser stets an diesen „roten Faden“ erinnern.

Ernst-Adam Pforr

1. Parameterintegrale und zweifache Integrale

Zusammenfassung

Wir beginnen in diesem ersten Abschnitt mit der Zusammenstellung derjenigen Hilfsmittel, die man für die Berechnung der Bereichsintegrale benötigt. Jedes Bereichsintegral — es wird in Abschnitt 2 definiert — kann durch ein „zweifaches Integral“ berechnet werden, wenn der zugehörige Integrationsbereich ein „Normalbereich“ ist. Zweifache Integrale ergeben sich aus „Parameterintegralen“ (parameterabhängigen Integralen) durch Integration nach diesem Parameter. Da Parameterintegrale auch in den Anwendungen eine große Bedeutung haben, werden wir in diesem Abschnitt auch auf einige Eigenschaften dieser Integrale eingehen, die in keinem unmittelbaren Zusammenhang zu den zweifachen Integralen stehen.

Ernst-Adam Pforr

2. Integrale über ebene Bereiche

Zusammenfassung

Wir erinnern zunächst an das bestimmte Integral der Funktion f (x) über dem Intervall [a, b]:

$$ \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$

Ernst-Adam Pforr

3. Integrale über räumliche Bereiche

Zusammenfassung

Bei der Definition des Raumintegrals kann man fast wörtlich die bei der Einführung des Bereichsintegrals im Abschnitt 2 verwendete Formulierung übernehmen. Es kommt im Prinzip kein neuer Gedanke hinzu; eine Begriffsbildung wird von der (2dimensionalen) Ebene auf den (3dimensionalen) Raum übertragen. Anstelle eines ebenen Bereiches B (i. allg. stellt man sich B als Teilmenge einer x, y-Ebene vor) mit einer darauf definierten Funktion f (P) = f (x, y) hat man jetzt einen räumlichen Bereich B (eine Teilmenge des x, y, z-Raumes) mit einer darauf definierten Funktion f (P) = f (x, y, z). Wir können uns daher bei der Einführung des Raumintegrals sehr kurz fassen.

Ernst-Adam Pforr

4. Transformation n-dimensionaler Integrale

Zusammenfassung

Ein wesentliches Hilfsmittel bei der Berechnung gewöhnlicher Integrale

$$ \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $$

ist die „Substitutionsmethode“. Von der „alten Variablen“ x geht man zu einer geeigneten „neuen Variablen“ u über, wobei der Zusammenhang zwischen x und u durch eine Gleichung x = φ(u) beschrieben wird.

Karl-Heinz Körber

5. Kurvenintegrale

Zusammenfassung

In den Abschnitten 2 und 3 haben wir das bestimmte Integral der Funktion f (x) über dem Intervall [a, b]

$$ \mathop {\mathop \smallint \limits^b }\limits_a {\mkern 1mu} f\left( x \right)dx$$

zum zwei- bzw. dreidimensionalen Integral verallgemeinert. Hier soll nun, ebenfalls ausgehend vom bestimmten Integral, das Kurvenintegral eingeführt werden. Als Integrationsbereich wählen wir statt des Intervalles [a, b] ein Kurvenstück К ⊂ ℝ³. Der Integrand muß natürlich eine mindestens auf К definierte Funktion f (x, y, z) sein. Das einzig Neue ist der Begriff der „Kurve“. Einige wichtige Sachverhalte über Kurven, die wir im Zusammenhang mit den Kurvenintegralen benötigen, sollen im folgenden zusammengestellt werden. Wir wollen uns dabei auf solche Kurven beschränken, die den Vorstellungen des Ingenieurs entsprechen.

Karl-Heinz Körber

6. Oberflächenintegrale

Zusammenfassung

Unser Ziel ist es, ähnlich wie wir in Abschnitt 5 das bestimmte Integral zu den Kurvenintegralen 1. und 2. Art erweitert haben, auch das Bereichsintegral für ebene Bereiche zu den Oberflächenintegralen 1. und 2. Art zu erweitern. Als Integrationsbereich wählen wir statt des ebenen Bereiches B ⊂ ℝ² eine räumlich gekrümmte Fläche Ω ⊂ ℝ³. Der Integrand ist eine mindestens auf Ω definierte Funktion f(P) = f (x,y,z), beim allgemeinen Oberflächenintegral 2. Art wie beim allgemeinen Kurvenintegral 2. Art ein Vektorfeld f(P) = f(x, y, z) = f(r). Hinsichtlich der räumlich gekrümmten Flächen wollen wir es ebenso wie bei den Kurven handhaben und uns auf solche beschränken, die den Vorstellungen des Ingenieurs entsprechen.

Karl-Heinz Körber

7. Integralsätze

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden wir Beziehungen zwischen Bereichs- und Kurvenintegralen bzw. zwischen Raum- und Oberflächenintegralen kennenlernen, die es uns in häufig vorkommenden Spezialfällen gestatten, Bereichs- in Kurvenintegrale bzw. Raum- in Oberflächenintegrale und umgekehrt umzuformen. Diese Beziehungen gestatten uns auch, eine Reihe von Anwendungen zu behandeln. Besonders fruchtbar wirken sich diese Beziehungen im Zusammenhang mit der Vektoranalysis aus.

Karl-Heinz Körber, Ernst-Adam Pforr

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