Lineare Gleichungssysteme, Determinanten

Lineare Gleichungssysteme treten in vielen Anwendungen auf, sei es, weil die Probleme direkt auf lineare Gleichungssysteme führen (z.B. Berechnung statisch unbestimmter Systeme, Berechnung elektrischer Netzwerke usw.), sei es, weil im Verlauf der Lösung des Problems teilweise wiederholt lineare Gleichungssysteme auftreten (z.B. bei Rand- und Eigenwertproblemen partieller Differentialgleichungen, nichtlinearen Gleichungssystemen, Ausgleichsrechnung). In diesem Kapitel soll zunächst der Gaußsche Algorithmus behandelt werden, der sowohl für die Theorie linearer Gleichungssysteme von Bedeutung ist wie auch für numerische Rechnungen vielfach angewendet wird. Insbesondere liefert der Gaußsche Algorithmus ein Kriterium, ob ein gegebenes Gleichungssystem überhaupt eine Lösung besitzt, und ein Verfahren, die Gesamtheit der Lösungen zu berechnen. Hierzu einige einfache Beispiele. Das Gleichungssystem 4.1$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_2} + 2{x_3} = 4} \\ {2{x_1} - {x_2} - {x_3} = 2} \\ {3{x_1} + 2{x_2} + {x_3} = 2} \\ \end{array} $$ kann auf folgende Weise gelöst werden. Man eliminiert die Unbekannte x₁, indem man das (− 2)-fache der ersten Gleichung zu der zweiten Gleichung und das (− 3)-fache der ersten Gleichung zu der dritten Gleichung addiert. Das entstehende Gleichungssystem 4.2$$ \begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} - {x_2} - 2{x_3} = 4} \\ {{x_2} - 5{x_3} = - 6} \\ {5{x_2} - 5{x_3} = - 10} \\ \end{array} $$ besitzt dieselben Lösungen wie das gegebene Gleichungssystem, denn jede Lösung des ersten Systems ist auch Lösung des zweiten Systems und umgekehrt, da durch Addition des 2-fachen bzw.