Lineare Algebra

Dieses Kapitel dient der anschaulichen Einführung der Vektoren in der Ebene und im Raum. Dabei werden wir einige geometrische Grundbegriffe verwenden (Punkt, Strecke, Abstand, Winkel), ohne sie vorher präzisiert zu haben. Insofern hat dieses Kapitel heuristischen Charakter, liefert aber einerseits erforderliches Anschauungsmaterial für die folgenden Kapitel und einen schnellen Zugang zu Anwendungen der Vektorrechnung, z.B. in der analytischen Geometrie. Diese wird ausführlich im Band „Geometrie“ der Reihe behandelt.

Im ersten Kapitel hatten wir die euklidischen Vektorräume ℝ² und ℝ³ betrachtet. Zahlreiche Probleme in den Natur- und Ingenieurwissenschaften erfordern jedoch zu ihrer Behandlung einen allgemeineren Vektorbegriff. Schon bei der Lösung linearer Gleichungssysteme ist es zweckmäßig, die gegebenen rechten Seiten y₁,..., y_p zu einem Vektor \( y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}} \\ \vdots \\ {{y_p}} \\ \end{array} } \right) \) und ebenso die gesuchten Lösungen zu einem Vektor \( x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ \vdots \\ {{x_p}} \\ \end{array} } \right) \) zusammenzufassen, und mit diesen Vektoren auf analoge Weise zu rechnen, wie wir es im ersten Kapitel getan haben. Gleichungssysteme mit einer großen Zahl von Gleichungen und Unbekannten (p ≥ 100) treten z.B. bei der Berechnung großer statischer Systeme, elektrischer Netzwerke, bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen (vgl. Bd. „Partielle Differentialgleichungen“) und an vielen anderen Stellen auf. Mitunter sind auch Gleichungssysteme in komplexen Zahlen zu lösen. Wir wollen jetzt den Vektorraumbegriff so verallgemeinern, daß er alle diese Fälle umfaßt.

Die zu Beginn des letzten Kapitels erwähnten linearen Gleichungssysteme hängen eng mit den linearen Abbildungen zusammen. Als Beispiel betrachten wir folgendes Gleichungssystem .

Lineare Gleichungssysteme treten in vielen Anwendungen auf, sei es, weil die Probleme direkt auf lineare Gleichungssysteme führen (z.B. Berechnung statisch unbestimmter Systeme, Berechnung elektrischer Netzwerke usw.), sei es, weil im Verlauf der Lösung des Problems teilweise wiederholt lineare Gleichungssysteme auftreten (z.B. bei Rand- und Eigenwertproblemen partieller Differentialgleichungen, nichtlinearen Gleichungssystemen, Ausgleichsrechnung). In diesem Kapitel soll zunächst der Gaußsche Algorithmus behandelt werden, der sowohl für die Theorie linearer Gleichungssysteme von Bedeutung ist wie auch für numerische Rechnungen vielfach angewendet wird. Insbesondere liefert der Gaußsche Algorithmus ein Kriterium, ob ein gegebenes Gleichungssystem überhaupt eine Lösung besitzt, und ein Verfahren, die Gesamtheit der Lösungen zu berechnen. Hierzu einige einfache Beispiele. Das Gleichungssystem kann auf folgende Weise gelöst werden. Man eliminiert die Unbekannte x₁, indem man das (− 2)-fache der ersten Gleichung zu der zweiten Gleichung und das (− 3)-fache der ersten Gleichung zu der dritten Gleichung addiert. Das entstehende Gleichungssystem besitzt dieselben Lösungen wie das gegebene Gleichungssystem, denn jede Lösung des ersten Systems ist auch Lösung des zweiten Systems und umgekehrt, da durch Addition des 2-fachen bzw.

In den euklidischen Vektorräumen \( {\mathbb{R}^2} \) und \( {\mathbb{R}^3} \) konnten mit Hilfe des Skalarprodukts Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren berechnet werden. Bei den in Kapitel 2 eingeführten Vektorräumen steht ein solches Skalarprodukt bisher nicht zur Verfügung. Es ist auch nicht offensichtlich, wie ein Skalarprodukt etwa im Vektorraum der Polynome vom Grad ≦ n (vgl. Abschnitt 2.6.1) eingeführt werden sollte. Wie wir sehen werden, gibt es verschiedene Möglichkeiten, Skalarprodukte und damit Längen von Vektoren festzulegen, wobei die Auswahl häufig durch die ins Auge gefaßten Anwendungen bestimmt wird. In der numerischen Mathematik werden auch „Längen“ von Vektoren verwendet, die sich nicht aus einem Skalarprodukt herleiten lassen. Zunächst sollen daher die allgemeinen Eigenschaften eines Skalarprodukts zusammengestellt werden.

Bereits in Kapitel 4 hatten wir verschiedene Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme kennengelernt, nämlich den Gaußschen Algorithmus und für quadratische Gleichungssysteme die Berechnung der inversen Matrix sowie die Cramersche Regel. Alle diese Verfahren lösen ein gegebenes Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix theoretisch in endlich vielen Schritten, allerdings mit einem ganz unterschiedlichen Rechenaufwand, insbesondere mit einer unterschiedlichen Anzahl von Punktoperationen (Multiplikationen und Divisionen). Solche Gesichtspunkte, die für die Konstruktion und Auswahl eines geeigneten numerischen Verfahrens zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme und ihren Einsatz auf einem Computer eine wichtige Rolle spielen, sind

Beim Studium der Eigenschaften einer linearen Abbildung f : V → V (V p-dimensionaler Vektorraum über K ∈ {ℝ, ℂ}) sowie beim Rechnen mit einer sie repräsentierenden Matrix A ist es von großem Vorteil, durch Wahl einer geeigneten Basis von V zu einer besonders einfachen Matrixdarstellung der Abbildung zu gelangen. „Besonders einfach“ bedeutet dabei auch, daß man einen Einblick in die wesentliche Struktur der Abbildung gewinnen möchte, die im allgemeinen hinter den Zufälligkeiten einer basisabhängigen Zahldarstellung verborgen bleibt. Eine solche Matrix-Repräsentation möglichst einfacher Gestalt ist natürlich auch ein wichtiges Hilfsmittel bei dem Versuch, einen Überblick über die verschiedenen „Typen“ linearer Abbildungen von V in sich zu gewinnen.

Die Ergebnisse und Beispiele des letzten Kapitels zeigen die Bedeutung der Eigenwertprobleme für zahlreiche Fragestellungen der Anwendungen. In diesem Kapitel sollen nun einige wichtige numerische Verfahren zur Lösung der Eigenwertaufgabe vor allem reell-symmetrischer Matrizen behandelt werden. Es sei also A eine reellsymmetrische (p, p)-Matrix, (λ₁, λ₂,..., λ_p) die Eigenwerte von A — jeder Eigenwert seiner Vielfachheit entsprechend gezählt — und x₁, x₂,..., x_p das vollständige Orthonormalsystem der Eigenvektoren (siehe Satz 7.42), mit <Equation>1</Equation> und <Equation>2</Equation> Viele der in diesem Kapitel behandelten numerischen Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren lassen sich auch auf allgemeinere Eigenwertaufgaben anwenden.