5. Transzendente Funktionen

Es gibt Funktionen, die sich nicht wie die bisher betrachteten aus der Funktion \(\mathop {\text {EINS}}\) mittels rationaler Verfahren aufbauen lassen (Zum Beispiel kann man aus dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen der \(\mathop {\text {EINS}}\)-Funktion, \(\mathop {\text {EINS}}(x)=1\), und der x-Achse bei fester unterer Grenze \(a=0\) und verschiebbarer oberer Grenze b die Identitätsfunktion \(\mathop {\text {id}}\), \(\mathop {\text {id}}(x)=x\), als Flächeninhaltsfunktion gewinnen. Auf dieselbe Weise erhält man aus \(\mathop {\text {id}}\) die quadratische Funktion mit \(f(x)=\frac{1}{2}x^{2}\). Rückgängig machen kann man dieses Vorgehen mittels der Steigung der erhaltenen Funktionsgraphen, die in diesen Fällen mit geometrischen Mitteln gefunden werden kann (siehe Beispiele 3.​2, 3.​3 und 3.​4). Diese beiden Verfahren kann man bereits Funktionsintegration bzw. -differentiation nennen. Mit den weiteren rationalen Verfahren Funktionsaddition, -multiplikation und -division sowie der Zahlenmultiplikation können dann sämtliche rationalen Funktionen konstruiert werden), sondern Hilfsmittel aus den Kapiteln Differentialrechnung und Integralrechnung verlangen. Solche Funktionen werden transzendent genannt. In diesem Kapitel werden die Logarithmus- und Exponentialfunktionen sowie die Kreisfunktionen und ihre Umkehrfunktionen behandelt. Eine dieser Funktionen, der natürliche Logarithmus, ist bereits in Abschn.  4.​3.​2.​2 eingeführt worden.