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2019 | OriginalPaper | Chapter

6. Unendliche Reihen

Authors : Peter Baumann, Thomas Kirski

Published in: Infinitesimalrechnung

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die mathematische Technik, Funktionen, die nicht mit den elementaren Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division dargestellt werden können, als (unendliche) Reihen zu schreiben, stellt von Beginn der Analysis an ein wichtiges Hilfsmittel zur Vereinfachnung von Berechnungen dar. Der erste Abschnitt dieses Kapitels zeigt Leonhard Eulers meisterhaften intuitiven Umgang damit am Beispiel seiner Überlegungen zur Bestimmung der besonderen Exponentialbasis \(\mathrm {e}\). Im zweiten Abschnitt wird deutlich, wie einfach und elegant der Umgang mit unendlichen Reihen allgemein durch die Verwendung hyperreeller Zahlen wird.

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Footnotes
1
Einleitung in die Analysis des Unendlichen.
 
2
Entsprechend den damaligen Regeln der Rechtschreibung.
 
3
Damit ist eine Exponentialfunktion überall stetig, denn ändert man x infinitesimal zu \(x+h\), dann wird die Änderung der Funktionswerte ebenfalls infinitesimal. Es gilt nämlich \(v=a^{x+h}-a^x=a^xa^h-a^x=a^x(1+h)-a^x=a^x\cdot h\).
 
4
Man vgl. Abschn. 2.​5.​4.
 
5
Man nennt hyperfinite Summen (oder Reihen) mit dieser Eigenschaft auch konvergent (vgl. den Abschn. 6.2 über unendliche Reihen).
 
6
Man vergleiche auch Abschn. 6.1.3.
 
7
Hierin ist \(\frac{x^0}{0!}:=1\) gesetzt.
 
8
vgl. Abschn. 2.​2.​7.
 
9
Mit den heute üblichen Begriffen der Physik lässt sich ein entsprechendes Ergebnis auch ganz einfach auf andere Weise erhalten: Bezeichnet man die (jeweils als konstant angenommene) Geschwindigkeit der Schildkröte mit \(v_K\) und die von Achilles mit \(v_A\), dann gilt für ihren Abstand von der Startposition \(s_K(t)=v_k\cdot t +s_0\) und \(s_A(t)=v_A\cdot t\), wenn \(s_0\) den Vorsprung der Schildköte bezeichnet. Durch Gleichsetzen der beiden Terme für \(s_K(t)\) und \(s_A(t)\) und anschließendes Auflösen nach t erhält man den Zeitpunkt, an dem beide denselben Abstand erreicht haben, zu \(t=\frac{s_0}{v_A- v_K}\). Unter der Voraussetzung \(v_A > v_K\) erhält man stets einen reellen Wert für diese Zeit. In den hier verwendeten Begriffen sind allerdings infinitesimal-mathematische Gedanken schon implizit enthalten.
 
10
Beweis: Wenn \(|q|<1\) ist, dann gibt es zu jeder noch so kleinen positiven reellen Zahl r ein finites n, so dass gilt: \(|q^n|<r\). Daher ist \(q^{{N}}\) für jedes infinite \({N}\) kleiner als jede positive und größer als jede negative reelle Zahl.
 
11
Hier wird das Transferprinzip in umgekehrter Richtung, also von https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-56792-0_6/71918_1_De_6_IEq299_HTML.gif nach \({\mathbb {R}}\), ausgenutzt.
 
12
Benannt nach Brook Taylor (1685–1731).
 
Literature
1.
Euler, L.: Einleitung in die Analysis des Unendlichen (Reprint d. Ausg. Berlin 1885). Springer, Berlin (1983)CrossRef
Metadata
Title
Unendliche Reihen
Authors
Peter Baumann
Thomas Kirski
Copyright Year
2019
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Infinitesimalrechnung

Print ISBN: 978-3-662-56791-3

Electronic ISBN: 978-3-662-56792-0

Copyright Year: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56792-0_6

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