Einleitung in die Analysis des Unendlichen

Frontmatter

1. Capitel. Von den Functionen überhaupt

Zusammenfassung

Eine constante Zahlgrösse ist eine bestimmte Zahlgrösse, welche beständig denselben Wert behält.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

2. Capitel. Von der Umformung der Functionen

Zusammenfassung

Die Functionen können auf andere Formen gebracht werden, und zwar entweder unter Beibehaltung derselben veränderlichen Zahlgrösse oder durch Einführung einer anderen Veränderlichen an Stelle der ersten.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

3.Capitel. Von der Umformung der Functionen durch Substitution

Zusammenfassung

Wenn y irgend eine Function von z ist, und z durch eine neue Veränderliche x bestimmt wird, so lässt sich auch y durch x bestimmen.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

4.Capitel. Von der Darstellung der Functionen durch unendliche Reihen

Zusammenfassung

Da die gebrochenen und irrationalen Functionen von z nicht unter der Form A + Bz + C z ² + D z ³ +... enthalten sind, wenn die Anzahl der Glieder eine endliche ist, so pflegt man ins Unendliche fortlaufende Ausdrücke derselben Art zn suchen, um. den Wert irgend einer gebrochenen oder irrationalen Function darzustellen. Ja es dürfte sogar die Natur transcendenter Functionen besser zu erkennen sein, sobald dieselben in einer solchen, wenn auch ins Unendliche fortlaufenden Form ausgedrückt sind.*) Denn ebenso wie die Natur einer ganzen Function am besten dann erkennbar ist, wenn sie nach Potenzen von z entwickelt, also auf die Form A + Bz + Cz ² + Dz ³ + ... gebracht ist, so ist auch diese Form, selbst wenn die Anzahl der Glieder unendlich gross ist, am geeignetsten, um sich von der eigentlichen Beschaffenheit aller anderen Functionen eine klare Vorstellung zu bilden. Offenbar aber kann eine Function, welche nicht eine ganze Function ist, nicht durch eine endliche Anzahl von Gliedern wie A + Bz + Cz ² + Dz ³ + ... dargestellt werden, denn sonst wäre sie ja eben eine ganze Function.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

5. Capitel. Von den Functionen zweier oder mehrerer Veränderlichen

Zusammenfassung

Bisher haben wir zwar auch schon mehrere veränderliche Zahlgrössen betrachtet, dieselben waren jedoch so beschaffen, dass sie sämtlich Functionen einer einzigen unter ihnen waren, und dass somit, wenn diese eine einen bestimmten Wert erhielt, die übrigen dadurch mitbestimmt wurden. Jetzt dagegen werden wir veränderliche Zahlgrössen betrachten, welche von einander nicht abhängen, so dass, wenn auch der einen von ihnen ein bestimmter Wert beigelegt wird, die andern nichtsdestoweniger unbestimmt und veränderlich bleiben. Derartige veränderliche Zahlgrössen, z. B. x, y, z, stimmen also hinsichtlich ihrer Bedeutung mit einander überein, da eine jede derselben alle bestimmten Werte unter sich begreift; trotzdem aber findet zwischen ihnen, wenn man sie mit einander vergleicht, die grösste Verschiedenheit statt, indem, wenn auch die eine z einen bestimmten Wert erhält, die übrigen x und y sich noch ebenso weit erstrecken, wie vorher.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

6. Capitel. Von den Exponentialgrössen und den Logarithmen

Zusammenfassung

Obgleich die transcendenten Functionen erst in der Integralrechnung genauer zu untersuchen sein werden, wollen wir doch, bevor wir dazu gelangen, einige besonders oft vorkommende und zu vielen Untersuchungen den Weg bahnende Arten derselben schon jetzt betrachten. Dahin gehören zunächst die Exponentialgrössen oder die Potenzen, deren Exponent eine veränderliche Zahlgrösse ist. Offenbar nämlich können derartige Zahlgrössen nicht zu den algebraischen Functionen gerechnet werden, da in diesen nur constante Exponenten vorkommen dürfen. Es giebt aber verschiedene Arten von Exponentialgrössen, je nachdem der Exponent für sich allein oder auch noch die zur Potenz erhobene Zahlgrösse veränderlich ist.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

7. Capitel. Von der Darstellung der Exponentialgrössen und der Logarithmen durch Reihen

Zusammenfassung

Da a ⁰ =1 ist, und mit wachsendem Exponenten zugleich auch der Wert der Potenz zunimmt, falls a eine Zahl grösser als 1 ist, so folgt daraus, dass, wenn der Exponent unendlich wenig grösser ist als 0, auch die Potenz die Einheit nur um unendlich wenig übersteigen wird.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

8. Capitel. Von den transcendenten Zahlgrössen, welche aus dem Kreise entspringen

Zusammenfassung

Nach den Logarithmen und den Exponentialgrössen müssen die Kreisbogen und deren Sinus und Cosinus betrachtet werden, nicht nur deshalb, weil sie eine andere Art von transcendenten Zahlgrössen ausmachen, sondern auch, was weiter unten deutlicher hervortreten wird, weil sie ans den Logarithmen und den Ezponentialgrössen selbst entspringen, sobald dieselben imaginäre Zahlgrössen enthalten.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

9. Capitel. Von der Aufsuchung der trinomischen Factoren

Zusammenfassung

Wir haben oben gezeigt, wie die einfachen Factoren irgend einer ganzen Function mittelst der Auflösung der Gleichungen gefunden werden.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

10. Capitel. Von dem Gebrauche der gefundenen Producte bei der Bestimmung der Summen unendlicher Reihen

Zusammenfassung

Wenn 1 + Az + Bz ² + Cz ³ + Dz ⁴ + ··· = (1 + αz ) (1 + βz ) (1 + γz ) (1 + δz ) ··· ist, so müssen diese Factoren, mag deren Anzahl eine endliche oder unendliche sein, elien jenen Ausdruck 1 + Az + Bz ² + Cz ³ + Dz ⁴ + ··· wieder hervorbringen, wenn man sie wirklich mit einander multiplicirt. Es muss daher, wie aus der gemeinen Algebra bekannt ist, der Coefficient

A

gleich der Summe aller Grössen α, β,... also gleich α + β + γ + δ + ε +...

 

B

gleich der Summe der Producte aus je zwei also gleich αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ +...,

 

C

gleich der Summe der Producte aus je dreien also gleich αβγ + αβδ + βγδ + αγδ +...,

 

D

gleich der Summe der Producte ans je vieren,

 

E

gleich der Summe der Producte aus je fünfen von diesen Grössen u. s. w. sein.

 

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

11. Capitel. Von andern unendlichen Ausdrücken für die Bogen und die Sinus

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

12. Capitel. Von der Entwicklung der gebrochenen Functionen in reeller Form

Zusammenfassung

Wir haben bereits oben im zweiten Capitel gezeigt, wie man jede gebrochene Function in soviel Teile zerlegen kann, als der Nenner derselben einfache Factoren enthält. Diese letzteren nämlich liefern die Nenner der Partialbrúebe. Besitzt nun der Nenner einfache imaginäre Factoren, so werden offenbar auch die daraus entspringenden Partial-brüche imaginär sein, und es wird daher in diesem Falle wenig Zweck haben, einen reellen Bruch in imaginäre zu zerlegen. Da wir indessen auch gezeigt haben, dass sich jede ganze Function, wie es ja der Nenner eines Bruches ist, mag sie auch noch so viele einfache imaginäre Factoren besitzen, doch immer in zweifache reelle Factoren zerlegen lässt, so können wir bei der Zerlegung der Brüche die imaginären Grössen dadurch vermeiden, dass man als Nenner der Partialbrüche nicht die einfachen, sondern die reellen zweifachen Factoren des Hauptnenners gebraucht.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

13. Capitel. Von den rekurrenten Reihen

Zusammenfassung

Zu dieser Art von Reihen, welche Moivre rekurrente zu nennen pflegt, rechne ich alle diejenigen Reihen, welche aus der durch wirkliche Division ausgeführtenEntwicklungeiner jeden gebrochenen Function entstehen. Wir haben von diesen Reihen schon früher gezeigt, dass sich ein jedes ihrer Glieder aus einer gewissen Anzahl der vorhergehenden nach einem unveränderlichen Gesetze, welches vom Nenner der gebrochenen Function abhängt, bestimmt. Da ich aber soeben dargetan habe, dass sich jede gebrochene Function in andere einfachere zerlegen lässt, so folgt hieraus, dass auch jede rekurrente Reihe in andere einfachere zerlegt werden kann. In diesem Capitel soll daher die Zerlegung der rekurrenten Reihen irgend welchen Grades in andere einfachere untersucht werden.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

14. Capitel. Von der Vervielfachung und Teilung der Winkel

Zusammenfassung

Es bezeichne z einen Winkel oder einen Bogen eines Kreises vom Radius 1, ferner x seinen Sinus, y seinen Cosinus und t seine Tangente.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

15. Capitel. Von den Reihen, welche aus der Entwicklung von Producten entspringen

Zusammenfassung

Ist ein Product gegeben von der Form:

$$ \left( {1 + \alpha z} \right)\left( {1 + \beta z} \right)\left( {1 + \gamma z} \right)\left( {1 + \delta z} \right)\left( {1 + \varepsilon z} \right)\left( {1 + \zeta z} \right) \cdots , $$

in welchem die Anzahl der Factoren sowohl endlich als unendlich gross sein kann, und giebt dasselbe, wenn die Multiplikation wirklich ausgeführt wird, die Reihe:

$$ 1 + Az + B{z^2} + C{z^3} + D{z^4} + E{z^5} + F{z^6} + \cdots , $$

so bestimmen sich offenbar die Coefficienten A, B, C, D, E... derselben aus den Zahlen α, β, γ, δ, ε, ζ... derart, dass

A =

α + β + γ + δ + ε + ζ + ··· = der Summe der einzelnen Zahlen,

 

B =

der Summe der Producte aus je zweien,

 

C =

der Summe der Producte aus je dreien,

 

D =

der Summe der Producte aus je vieren,

 

E =

der Summe der Producte aus je fünfen von diesen Zahlen u. s. w.

 

ist, bis man zu dem Producte aus allen gekommen ist. Man darf aber hierbei keine der Zahlen α, β, γ, δ... mit sich selbst verbinden.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

16. Capitel. Von der Zerlegung der Zahlen in Teile

Zusammenfassung

Ist der Aasdruck:

$$ \left( {1 + {x^\alpha }z} \right)\left( {1 + {x^\beta }z} \right)\left( {1 + {x^\gamma }z} \right)\left( {1 + {x^\delta }z} \right)\left( {1 + {x^\varepsilon }z} \right)... $$

gegeben, so entsteht die Frage: Welche Form nimmt derselbe an, wenn er durch wirkliche Ausführung der Multiplikation entwickelt wird?

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

17. Capitel. Von dem Gebrauch der rekurrenten Reihen bei der Berechnung der Wurzeln der Gleichungen

Zusammenfassung

Im dritten Bande der Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Petersburg hat Daniel Bernoulli den grossen Nutzen der rekurrenten Reihen bei der Berechnung der Wurzeln einer Gleichung von irgend welchem Grade gezeigt, indem er nachwies, wie man die Werte der Wurzeln irgend einer algebraischen Gleichung, sie möge sein, von welchem Grade sie wolle, mit Hülfe der rekurrenten Reihen annähernd genau bestimmen kann. Da. diese Entdeckung sehr häufig grossen Vorteil bietet, so wollen wir sie hier sorgfältiger auseinandersetzen und zeigen, in welchen Fällen sie anwendbar ist. Zuweilen nämlich geschieht es wider alle Erwartung, dass man eine Wurzel der Gleichung auf diesem Wege nicht findet. Wir wollen daher, um die Bedeutung dieses Verfahrens recht klar hervortreten zu lassen, den eigentlichen Grund desselben aus den Eigenschaften der rekurrenten Reihen zu erforschen suchen.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter

18. Capitel. Von den Kettenbrüchen

Zusammenfassung

Nachdem ich in den vorhergehenden Capiteln sowohl über die unendlichen Reihen, als auch über die ans unendlich vielen Factoren bestehenden Producte gehandelt habe, glaube ich auch noch Einiges über die dritte Art unendlicher Ausdrücke, nämlich über die Kettenbrache, hinzufügen zu müssen. Denn obwohl die Theorie dieser Brüche bisher noch wenig ausgebildet ist, so unterliegt es doch keinem Zweifel, dass man dereinst in der Analysis des Unendlichen einen sehr ausgedehnten Gebrauch davon machen wird. Die Proben, die ich bereits öfter davon gegeben habe, machen die Erfüllung dieser Erwartung in hohem Grade wahrscheinlich. Besonders aber gewährt die Untersuchung, die ich mir im gegenwärtigen Capitel anzustellen vorgenommen habe, der Arithmetik und der gemeinen Algebra nicht zu unterschätzende Hülfsmittel.

Leonhard Euler, Wolfgang Walter