Zeitfunktion und Spektrum

Die harmonische Analyse ermöglicht die Darstellung beliebiger Zeitfunktionen durch eine Summe harmonischer Schwingungen, die als Spektrum bezeichnet wird. Diese spektrale Darstellung von Zeit funktionen bildet die Grundlage für die Analyse und Synthese linearer Systeme im Sinne der Systemtheorie. In diesem 1. Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen Zeitfunktion und Spektrum hergeleitet werden. Von der harmonischen Schwingung ausgehend, wird die spektrale Darstellung periodischer Zeitfunktionen mit Hilfe der Fourier-Reihe beschrieben. Danach wird das Fourier-Integral zur spektralen Darstellung einmaliger Vorgänge abgeleitet. Darauf aufbauend werden die beiden üblichen Verfahren, nämlich die Laplace- und die Fourier-Transformation hergeleitet und ihre Darstellungsmöglichkeiten diskutiert. Der Bereich darstellbarer Funktionen ist bei beiden Verfahren in verschiedener Weise eingeschränkt. Deshalb wird im 2. Abschnitt eine Allgemeine Spektraltransformation, die beide Verfahren umfaßt, definiert und beschrieben.