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2013 | Book

Kubische Gleichungen Read chapter Read first chapter

Algebra für Einsteiger

Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie

Author: Jörg Bewersdorff

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im 16. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach fast dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann fast unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

Table of Contents

Frontmatter
1. Kubische Gleichungen
Zusammenfassung
Gesucht ist eine Zahl, die addiert zu ihrer Kubikwurzel 6 ergibt.
Mit solchen Aufgaben in Textform wurden schon Generationen von Schülern „beglückt“. Die Aufgabe selbst ist übrigens schon einige Jahrhunderte alt. Es handelt sich um die erste von 30 Aufgaben, die 1535 Nicolo Tartaglia (1499 oder 1500-1557), dessen Nachname Stotterer bedeuet, in einem Wettstreit gestellt bekam. Herausforderer im Wettstreit war Antonio Fior (1506-?), dem Tartaglia im Gegenzug ebenfalls 30 Aufgaben stellte.
Jörg Bewersdorff
2. Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen
Zusammenfassung
Versucht man, die kubische Gleichung x 3 = 8x + 3 mit Hilfe der Cardanischen Formel zu lösen, so scheint die Formel zu versagen. Dies liegt aber keineswegs daran, dass die Gleichung unlösbar ist, denn x = 3 ist offensichtlich eine Lösung.
Wie schon die Aufgabenstellung des ersten Kapitels ist auch diese Gleichung als „klassisch“ zu bezeichnen, da sie aus Cardanos Buch Ars magna stammt. Allerdings geht Cardano, der einfach 3 als Lösung angibt und dann noch zwei weitere Lösungen berechnet, auf die Schwierigkeiten, die bei einer Verwendung der Cardanischen Formel entstehen, nicht näher ein – sie dürften ihm aber kaum verborgen geblieben sein.
Jörg Bewersdorff
3. Biquadratische Gleichungen
Zusammenfassung
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung x 4 + 6x 2 + 36 = 60x.
Auch die dritte Problemstellung ist klassisch und entstammt Cardanos Buch Ars magna. Allerdings bereitete es Cardano Schwierigkeiten, solche biquadratischen Gleichungen überhaupt zu behandeln, da sie ihm keine geometrische Interpretation boten. Dazu bemerkte er im Vorwort: „Da positio auf eine Linie, quadratum auf eine Fläche und cubum auf einen Körper hinweisen, wäre es sehr töricht, über dieses hinauszugehen. Die Natur erlaubt es nicht“.
Jörg Bewersdorff
4. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften
Zusammenfassung
Gesucht ist eine Gleichung, welche die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 als Lösungen besitzt.
Historisch weckten die Erfolge bei der Auflösung der kubischen und biquadratischen Gleichung fast zwangsläufig den Wunsch, auch für Gleichungen höherer Grade Lösungsformeln zu finden. Damit verbunden entwickelte sich ein Interesse dafür, die prinzipiellen Eigenschaften von Gleichungen noch besser und vor allem systematischer zu studieren. In diesem Zusammenhang wurde auch die hier wiedergegebene Aufgabe gestellt und gelöst. Sie ist zu finden in dem 1591 erschienenen Werk In artem analyticem isagoge von François Viète.
Jörg Bewersdorff
5. Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln
Zusammenfassung
Gibt es einen gemeinsamen „Bauplan“ für die Lösungsformeln der Gleichungen bis zum vierten Grad?
Die von Cardano veröffentlichten Verfahren zur Auflösung von kubischen und biquadratischen Gleichungen markieren den Beginn einer historischen Periode, in der es vielfältige Versuche gegeben hat, eine allgemeine Formel zur Lösung von Gleichungen fünften Grades zu finden. Für dieses Ziel war es natürlich naheliegend, nach Gemeinsamkeiten der bereits gefundenen Lösungsverfahren zu suchen. Dabei konnten im Fall der biquadratischen Gleichung sogar diverse Alternativen zu Ferraris Lösungsmethode mit einbezogen werden, die mit anderen Äquivalenzumformungen und anderen Zwischenergebnissen zu letztlich übereinstimmenden Resultaten führen.
Jörg Bewersdorff
6. Gleichungen, die sich im Grad reduzieren lassen
Zusammenfassung
Anders als bei der Gleichung x 5 – 2x 4 – 4x 3 + 2x 2 + 11x + 4 = 0, deren Lösungen aus einer quadratischen und einer kubischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten bestimmt werden können, ist Vergleichbares bei der Gleichung 2x 5 + 6x 2 + 3 = 0 nicht möglich. Wie ist dieser Unterschied einerseits begründet und anderseits erkennbar?
Handelten die bisherigen Kapitel von Techniken, für Gleichungen eines bestimmten Grades allgemein gültige Auflösungsformeln zu finden, so haben wir nun Abels Nachweis für die Unmöglichkeit, die allgemeine Gleichung fünften oder höheren Grades mit Radikalen zu lösen, dadurch Rechnung zu tragen, uns bei Gleichungen ab dem fünften Grad auf spezielle Gleichungen zu beschränken.
Jörg Bewersdorff
7. Die Konstruktion regelmäßiger Vielecke
Zusammenfassung
Mit den Worten „Durch angestrengtes Nachdenken ... am Morgen ... (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“ beschreibt Carl Friedrich Gauß die Umstände seiner im Jahr 1796 gemachten Entdeckung, dass das regelmäßige Siebzehneck mit alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Wie konnte es Gauß überhaupt bewerkstelligen, die Möglichkeit einer geometrischen Konstruktion rein gedanklich zu analysieren?
Die Entdeckung des achtzehnjährigen Gauß vom 29. März 1796 markiert den Beginn eines mathematischen Lebenswerkes, das an Umfang und Bedeutung kaum seines Gleichen finden dürfte. Gauß selbst erläuterte in der Allgemeinen Literaturzeitung seine das „ordentliche“, das heißt das regelmäßige, Siebzehneck betreffende Entdeckung wie folgt: Es ist jedem Anfänger der Geometrie bekannt, dass verschiedene ordentliche Vielecke, namentlich Dreieck, Fünfeck, Fünfzehneck und die, welche durch wiederholte Verdopplung der Seitenzahl derselben entstehen, sich geometrisch konstruieren lassen. So weit war man schon zu Euklids Zeit, und es scheint, man habe sich seitdem allgemein überredet, dass das Gebiet der Elementargeometrie sich nicht weiter erstrecke; wenigstens kenne ich keinen glücklichen Versuch, ihre Grenzen auf dieser Seite zu erweitern.
Jörg Bewersdorff
8. Auflösung von Gleichungen fünften Grades
Zusammenfassung
Gesucht ist eine Lösung der Gleichung x 5 = 2625x + 61500.
Bei der angeführten Gleichung handelt es sich wieder um ein klassisches Beispiel. Bereits Leonhard Euler erkannte 1762 anlässlich seiner Studien über die Auflösung von Gleichungen, dass diese Gleichung zu einer Klasse von Gleichungen fünften Grades gehört, die allesamt mit Radikalen gelöst werden können. Wie auch andere Mathematiker seiner Zeit hatte Euler versucht, die Auflösungsmethoden für Gleichungen bis zum vierten Grad auf Gleichungen fünften Grades zu übertragen. Selbst die dabei entstehenden Berge von Formeln konnten Eulers prinzipiellen Optimismus nicht erschüttern.
Jörg Bewersdorff
9. Auflösung von Gleichungen fünften Grades
Zusammenfassung
Wie lässt sich bei einer Gleichung fünften oder höheren Grades erkennen, ob sie mit Radikalen auflösbar ist oder nicht?
Die formulierte Frage ist die natürliche Fortsetzung der bisherigen Resultate: Wenn es schon keine Auflösung für die allgemeine Gleichung gibt, so stellt sich fast zwangsläufig die Frage, welche speziellen Gleichungen mit Radikalen lösbar sind? Beantwortet wurde die Frage von dem erst zwanzigjährigen französischen Mathematiker Evariste Galois, und zwar kurz bevor er sich 1832 einem ihm den Tod bringenden Duell stellte.
Jörg Bewersdorff
10. Algebraische Strukturen und Galois-Theorie
Zusammenfassung
In einem Lexikon findet man unter dem Stichwort „Galois-Theorie“: Nach der Galois-Theorie ist die Auflösung einer Gleichung äquivalent der Konstruktion desjenigen Körpers E über dem Körper K der Koeffizienten der Gleichung, der durch Adjunktion der gesuchten Lösungen entsteht. Alle Vertauschungen der Lösungen induzieren eine Gruppe von Abbildungen von E auf sich selbst (Automorphismen), die die Elemente von K einzeln fest lassen. Durch Bestimmung aller möglichen Untergruppen dieser Gruppe gelingt es, den Körper E schrittweise über die den Untergruppen entsprechenden Zwischenkörper aufzubauen. Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass sie Beziehungen zwischen Körpern mit ihren zwei Kompositionen Addition und Multiplikation durch Beziehungen zwischen Gruppen mit ihrer einen Komposition ersetzt. Wie steht diese Beschreibung der Galois-Theorie mit der im vorangegangenen Kapitel gegebenen Einführung in Verbindung?
Jörg Bewersdorff
11. Artins Version des Hauptsatzes der Galois-Theorie
Zusammenfassung
Eine sehr kompakte Darstellung der Galois-Theorie stammt von Emil Artin. Blickt man in sein Buch, scheint es nur wenige Überschneidungen mit der im letzten Kapitel erfolgten Darlegung zu geben. Woran liegt das?
In seinem 1942 erstmals erschienenen Buch Galois Theory, später als deutsche Übersetzung unter dem Titel Galoissche Theorie herausgegeben, präsentierte Emil Artin einen Beweis des Hauptsatzes der Galois- Theorie, der in erheblichem Maße von den davor bekannten Beweisen abwich. Anders als die älteren Beweise kommt Artins Beweis nämlich völlig ohne die Konstruktion einer Galois-Resolvente beziehungsweise ohne Verwendung des entsprechenden Satzes vom primitiven Element aus. Stattdessen erdachte Artin einen Aufbau der Galois-Theorie, der es erlaubt, den im Wesentlichen nur im Hinblick auf die Voraussetzungen umformulierten Hauptsatz vollständig mit Sätzen der Linearen Algebra zu beweisen. Konkret werden die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme untersucht. Hingegen ist eine Argumentation anhand von Polynomen und deren Lösungen für den Beweis des Hauptsatzes in dieser Variante nicht erforderlich – sehr wohl allerdings für dessen anschließende Interpretation.
Jörg Bewersdorff
Backmatter
Metadata
Title
Algebra für Einsteiger
Author
Jörg Bewersdorff
Copyright Year
2013
Publisher
Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN
978-3-658-02262-4
Print ISBN
978-3-658-02261-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-02262-4

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