Eigenwerte und Eigenvektoren

Zur Untersuchung der Eigenschaften einer linearen Abbildung L: V →V interessiert die Frage, ob es Vektoren v ∈ V gibt, deren Bild L(v) ein Vielfaches von v ist. Man sucht also nach Vektoren, die durch die Abbildung L nur in ihrer Länge verändert werden. Jeder solche Vektor v ∈ V muss dann offenbar der Gleichung 7.1$$ L\left( v \right) = \lambda v$$ mit einer Zahl λ ∈ K genügen. Zur Untersuchung, ob es solche Vektoren v gibt und wie man sie charakterisieren bzw. berechnen kann, benutzen wir ein wichtiges Hilfsmittel, nämlich die Matrixdarstellung linearer Abbildungen, siehe Abschnitt 4.3. Damit lässt sich durch Wahl einer Basis B in Urbild- und Bildraum (die ja hier dieselben Vektorräume sind) das Bild L(v) durch Ax beschreiben, wobei nun x der Koordinatenvektor von v bezüglich B und Ax der Koordinatenvektor von L(v) bezüglich B ist. Aus Gründen der allgemeineren Darstellung wählen wir Cn als Vektorraum der Koordinatenvektoren. Die Forderung (7.1) wird damit zu 7.2$$Ax = \lambda x.$$ Man sucht also einen Vektor x ∈ Cn und eine Zahl λ ∈ C, so dass (7.2) erfüllt ist. Da diese Gleichung für x = o für jedes λ erfüllt ist, schließen wir x = o bei der Suche aus.