Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Die Vorlesung über lineare Algebra und analytische Geometrie ist eine der beiden Vorlesungen, die man bei uns am Anfang des Mathematikstudiums hört. Es ist daher sicher nicht unangemessen, sich in der ersten Stunde dieser Vorlesung die folgenden Fragen zu stellen:

Wir haben im vorhergehenden an konkreten Beispielen gesehen, welche wichtige Rolle der Gruppenbegriff spielt, und diese wichtige Rolle wird im weiteren Verlauf der Vorlesung immer klarer hervortreten. Wir wollen daher den abstrakten Gruppenbegriff und einige weitere grundlegende damit zusammenhängende Begriffe genau definieren und eine Reihe von Beispielen dazu kennenlernen.

Wir haben in den Thesen zu Beginn dieser Vorlesung auf die Frage nach dem Gegenstand der Mathematik eine sehr umfassende Antwort gegeben. Gegenstand der Mathematik kann danach grundsätzlich jede Struktur sein, jedes System von Beziehungen zwischen realen oder gedachten Objekten oder Mengen von solchen Objekten. Natürlich untersucht man nicht beliebige Strukturen, sondern solche, die praktisch besonders wichtig oder theoretisch besonders interessant sind. Es gibt eine große Vielfalt solcher Strukturen in der Mathematik, viele Hunderte. Man kann auf verschiedene Weise versuchen, diese vielen einzelnen Strukturen in einige wenige Grundtypen einzuteilen. Die am häufigsten gebrauchte derartige grobe Einteilung ist die Einteilung der Mathematik in die großen Gebiete Geometrie, Algebra und Analysis. Dem entspricht bei uns die Einteilung der beiden Grundvorlesungen in analytische Geometrie und lineare Algebra einerseits und Analysis andererseits.

Der Begriff des Körpers wurde in voller Allgemeinheit von Heinrich Weber 1893 eingeführt. Weber sagt in seinem Lehrbuch der Algebra zur Einführung des Körperbegriffs folgendes:

In diesem Paragraphen definieren wir axiomatisch Vektorräume und lineare Abbildungen. Wir geben einige Beispiele für diese grundlegenden Begriffe an und leiten aus den Axiomen die einfachsten Rechenregeln für Vektorräume ab. Ferner zeigen wir, wie man Elemente von Vektorräumen explizit durch ihre Koordinaten bezüglich geeigneter Erzeugendensysteme - Basen genannt - beschreiben kann. Aus dem Begriff des Basis entwickeln wir den Begriff der Dimension eines Vektorraums.

Die meisten konkreten Rechnungen in der linearen Algebra werden mit Hilfe von Matrizen ausgeführt. In diesem Paragraphen werden wir in 7.1 lernen, wie man mit Matrizen rechnet. In 7.2 und 7.3 werden wir sehen, wie man mit Hilfe von Matrizen Koordinatentransformationen und Homomorphismen explizit beschreiben kann. Wir werden sehen, wie alle für Homomorphismen in § 6 “abstrakt” eingeführten Begriffe konkret durch den Matrizenkalkül erfaßt und auf diese Weise operationalisiert werden. Insbesondere werden wir in 7.4 sehen, wie der Gaußsche Algorithmus es gestattet, für einen durch Erzeugende gegebenen Vektorraum eine Basis zu finden und damit die Dimension von Vektorräumen und den Rang von Homomorphismen zu bestimmen sowie Isomorphismen zu invertieren.

Im einleitenden Kapitel dieser Vorlesung sind wir von einem durch die Ausbildung in der Schule entwickelten relativ naiven Vorverständnis von Algebra und Geometrie ausgegangen und haben gezeigt, wie in der analytischen Geometrie Algebra und Geometrie miteinander verschmolzen werden. Diese Überlegungen waren für uns einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung des Vektorraumbegriffs: Die Gruppe der Translationen eines affinen Raumes hat die Struktur eines Vektorraumes. Bei dieser Auffassung wird der affine Raum als das ursprünglich Gegebene angesehen. Wir hatten dann aber gesehen, wie die analytische Geometrie genau den umgekehrten Standpunkt einnimmt. Sie sieht als das primär Gegebene ein algebraisches Objekt an, nämlich die Vektorraumstruktur, und konstituiert mit Hilfe dieser algebraischen Struktur als geometrisches Objekt den affinen Raum. Diesen analytischen Standpunkt wollen wir im folgenden konsequent einnehmen. Da wir inzwischen die Theorie der Vektorräume schon recht weit entwickelt haben, können wir jetzt bei der Konstituierung der affinen Geometrie auf analytischem Wege sehr schnell vorgehen. Zur Motivation sei auf das einleitende Kapitel verwiesen, insbesondere die Seiten 132 – 140.

In diesem Paragraphen wollen wir kurz zusammenfassen, was sich aus der bisher entwickelten linearen Algebra für die Lösungen linearer Gleichungssysteme ergibt. Dabei interessiert vor allem die Frage nach der Existenz von Lösungen und nach ihrer Anzahl - das heißt der Dimension der Lösungsräume sowie die effektive Berechnung der Lösungen.