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2021 | Book

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Stochastik rezeptfrei unterrichten

Anregungen für spannende Lehre über den Zufall

Authors: Dr. Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Das Buch gibt Referendaren, Lehramtsstudierenden und Lehrern konkrete Anregungen für verständnisorientierten Stochastik-Unterricht. Es geht ums Entdecken, Begreifen und Verstehen anhand vielfältiger Inhalte, etwa: Faires Glücksrad, Wartezeiten beim Bingo, Verknoten von Schnüren, ...
Die einzelnen Kapitel sind relativ unabhängig voneinander lesbar, der Aufbau ist jeweils einheitlich und beinhaltet:Fachliche EinführungFür welche Sekundarstufe/Klasse, welches Vorwissen wird benötigt?Literaturhinweise zum WeiterlesenHintergrundwissenVideos zum leichteren Einstieg in die Themen

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Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Einstimmung und fachliche Basis

Zusammenfassung

Mit diesem Einstiegskapitel möchten wir zunächst richtig Lust auf die Stochastik wecken. Daher ist der erste Abschnitt dem Thema „stochastisch denken“ gewidmet. Im zweiten und dritten Abschnitt haben wir mathematische Definitionen und Sätze inklusive konkreter Beispiele und Erklärungen aufgeführt, die eine fachliche Grundlage darstellen und bereits die eine oder andere Einsicht vermitteln. Dabei gehen wir zunächst auf wichtige stochastische Grundbegriffe ein. Anschließend wenden wir uns der Kombinatorik zu und zeigen durch eine begriffliche Einführung der Binomialkoeffizienten, wie etwa der allgemeine binomische Lehrsatz oder das Gesetz der oberen Summation ohne Rechnung einsichtig werden. Das Kapitel enthält zudem eine Reihe kurzer, prägnanter Beispiele, die im Unterricht auch als Stundenein- oder ausstieg geeignet sind und unter anderem mit der Ich-Du-Wir-Methode (Think-Pair-Share) umgesetzt werden können.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 2. Schnüre blind verknoten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es um Anregungen für rezeptfreien Unterricht zu etwas ganz Greifbarem, nämlich dem Verknoten von Schnüren. Vier gleich lange Schnüre werden so in der Mitte gefasst, dass die acht Enden frei herunterhängen. Dann nimmt man die Schnurmitten in eine geschlossene Faust, damit nicht ersichtlich ist, welche Enden zusammengehören. Verknotet man alle Schnurenden rein zufällig und öffnet dann die Faust, so kann ein einziger großer Ring entstehen. Es können sich aber auch zwei, drei oder vier Ringe ergeben. Wie wahrscheinlich sind diese Möglichkeiten jeweils? Wie viele Ringe ergeben sich im Mittel? Was passiert allgemein bei n Schnüren? Inhaltlich geht es auch um Baumdiagramme, methodisch um Hilfestellungen, die z. B. in Form von Hilfekärtchen umsetzbar sind. Zudem erfährt man hautnah und handlungsorientiert, was stochastische Unabhängigkeit bedeutet.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 3. Der verwirrte Passagier

Zusammenfassung

Mit diesem konkreten Problem können Sie Ihre Klasse geradezu begeistern! Ein Flugzeug mit n Plätzen ist ausgebucht. Die Passagiere steigen in der Reihenfolge ihrer Platznummern ein. Der erste, verwirrte Fluggast hat seine Bordkarte verloren und setzt sich rein zufällig auf einen der n Plätze. Jeder weitere Einsteigende setzt sich auf dem ihm durch die Bordkarte zugewiesenen Platz, falls dieser frei ist, andernfalls wählt er einen der noch freien Sitzplätze aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält der zuletzt einsteigende Passagier den Platz, der auf seiner Bordkarte angegeben ist? Überraschenderweise hängt die Antwort nicht von der Anzahl n der Plätze ab. Eine hohe Schüleraktivierung entsteht dadurch, dass eine Gruppe von Schülern die Situation nachspielt, während der Rest der Klasse diese analysiert. Wie in Kapitel 2 gehen wir auch hier auf stochastische Unabhängigkeit ein.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 4. Ein faires Glücksrad mit unterschiedlich großen Sektoren

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist Ihre Klasse mit folgender Frage konfrontiert: Wie erzeugt man ganz rezeptfrei Gerechtigkeit bei einem Spiel, bei dem es nicht auf den Erwartungswert des Spielgewinns ankommt? Das Spiel besteht darin, dass Anja und Bettina abwechselnd ein Glücksrad mit den Sektoren A für Anja und B für Bettina drehen. Gewonnen hat diejenige, die als Erste erreicht, dass der Zeiger des Rades in ihrem Sektor stehen bleibt. Wie müssen die Sektoren des Rades eingeteilt sein, damit dieses Spiel fair ist, also beide Spielerinnen mit derselben Wahrscheinlichkeit gewinnen, wenn Anja den „Vorteil“ besitzt, als erste drehen zu dürfen? Die Lösung führt auf eine quadratische Gleichung für den Sektoranteil von Anja, bei der sich der berühmte goldene Schnitt ergibt. Hier kommt ein GeoGebra-Arbeitsblatt zum Einsatz, das frei im Web zu finden ist.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 5. Rekorde bei Temperaturdaten: Alles reiner Zufall?

Zusammenfassung

Dieses Kapitel gibt Ihnen konkrete Anregungen für verständnisorientieren Stochastikunterricht zum Thema Klimawandel. Ausgangspunkt hierfür sind die insgesamt 14 jeweils über einen Zeitraum von zehn Jahren gemittelten bodennahen Lufttemperaturen in Deutschland seit 1881. Unter diesen Temperaturmittelwerten tritt neunmal ein Rekord auf, also ein Wert, der höher ist als alle zeitlich davorliegenden Werte. Wir werden unter anderem sehen, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens neun Rekorde beim rein zufälligen Vertauschen von 14 verschiedenen Zahlen – also jeglicher Leugnung eines Klimawandels – nur etwa zwei Promille beträgt. Dieses Kapitel spricht in besonderem Maße die Lebenswelt der Schüler – Klima betrifft alle – an, und ganz nebenbei wird die stochastische Intuition mithilfe von Symmetriebetrachtungen trainiert. Im Aufgabenteil findet sich eine Fragestellung zur Vierfeldertafel.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 6. Bingo! Lösung einesWartezeitproblems

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es um Anregungen für rezeptfreien Stochastikunterricht, und zwar im Zusammenhang mit dem Spiel Bingo. Auf einem Schein stehen 15 verschiedene Zahlen zwischen 1 und 90. In einer Lostrommel befinden sich Kugeln mit den Nummern 1 bis 90. Diese werden so lange nacheinander rein zufällig und ohne Zurücklegen gezogen, bis alle Zahlen auf dem Spielschein vorgekommen sind. Wie viele Kugeln müssen im Mittel gezogen werden, bis jede auf dem Schein stehende Zahl dabei ist? Die Antwort 85,3125 ist auf den ersten Blick überraschenderweise sehr hoch. Dieser Wert wird aber verständlich, wenn man den „Stochastik-Instinkt“ durch Rückwärtsdenken trainiert hat. Ein begrifflicher Zusammenhang mit der Verteilung der größten Gewinnzahl bei einem „15 aus 90-Lotto“ schafft hier weitere Einsichten. Ein Umsetzungsvorschlag bezieht sich auf das Verwenden einer Online-Umfrage-App.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 7. Das Pólyasche Urnenmodell

Zusammenfassung

Dieses Kapitel erweitert den Stochastik-Horizont Ihrer Klasse, indem es rezeptfrei und verständnisorientiert über den Tellerrand der Binomialverteilung hinausblickt. Ziehen wir aus einer Urne mit roten und schwarzen Kugeln n-mal mit Zurücklegen nach jeweils gutem Mischen, so folgt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln einer Binomialverteilung. Diese Verteilung nimmt in der Schule einen großen Stellenwert innerhalb der Stochastik ein. Der Blick über den Tellerrand dieser Verteilung wird ermöglicht, indem wir die folgenden Fragen beantworten: Was ändert sich, wenn wir ohne Zurücklegen ziehen, oder wenn wir nach Ziehen einer Kugel noch weitere Kugeln derselben Farbe zurücklegen oder entnehmen? Hier spielen Baumdiagramme und die Pfadregeln eine wichtige Rolle. Eine selbstdifferenzierende Blütenaufgabe schlägt eine Brücke zu Kapitel 9.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 8. Wann zeigt auch der letzte Würfel eine Sechs?

Zusammenfassung

Dieses Kapitel gibt Anregungen für rezeptfreien Stochastikunterricht bei einem konkreten Problem aus der Erfahrungswelt Ihrer Schüler: Es werden n ideale, nicht unterscheidbare Würfel gleichzeitig geworfen. Diejenigen Würfel, die danach eine Sechs zeigen, werden beiseite gelegt. Die übrigen Würfel werden erneut geworfen, auch von diesen werden wieder die mit Sechs aussortiert usw. Wie viele Würfe sind erforderlich, damit auch der letzte Würfel eine Sechs zeigt? Auf den ersten Blick erscheint dieses Problem schon für den Fall von nur drei Würfeln schwierig zu sein: Der Ansatz, eine Fallunterscheidung nach der Anzahl der Sechsen im ersten Wurf vorzunehmen, führt zu großem Rechenaufwand, und man erkennt, dass man bei diesem Problem mit Baumdiagrammen nicht sehr weit kommen würde. Eine rein gedankliche Unterscheidung der Würfel und damit einhergehende Unabhängigkeits-Argumente wirken jedoch Wunder.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 9. *Überraschungen bei einemWartezeitproblem

Zusammenfassung

Dieses Kapitel handelt von einem geradezu unglaublichen Sachverhalt, der Ihre Schüler neugierig machen wird. Man stelle sich zwei verschiedene Szenarien für das wiederholte Ziehen aus einer Urne vor. Im ersten enthalte die Urne eine rote und eine schwarze Kugel, im zweiten zwei rote und eine Milliarde schwarze Kugeln. Man zieht rein zufällig. Ist die gezogene Kugel rot, so ist der stochastische Vorgang beendet. Ist sie schwarz, so wird die Kugel zusammen mit einer weiteren schwarzen Kugel in die Urne gelegt, und der Urneninhalt wird gut gemischt. Danach wird erneut gezogen. Das Ziel besteht darin, die rote Kugel (bzw. im zweiten Szenario eine der beiden roten Kugeln) zu ziehen. Überraschenderweise benötigt der stochastische Vorgang im ersten Szenario (im Gegensatz zum zweiten!) im Mittel unendlich viele Züge. Zum Tragen kommen hier unter anderem die Pfadregeln und die harmonische Reihe.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 10. *Muster bei Bernoulli-Folgen – Erwartungswerte

Zusammenfassung

Dieses Kapitel stellt ein ausgesprochen kurioses Phänomen vor, das aufmerken lässt und Impulse für rezeptfreien Stochastikunterricht liefert: Beim zweimaligen Werfen einer fairen Münze mit den Seiten Kopf (1) und Zahl (0) besitzt jedes der beiden Ergebnisse 11 und 01 die Wahrscheinlichkeit ¼. Zählt man jedoch die Anzahl der nötigen Versuche, bis zum ersten Mal direkt hintereinander 11 bzw. 01 aufgetreten ist, so benötigt man für 11 auf die Dauer im Mittel sechs Versuche, für 01 jedoch nur vier. Wir gehen diesem Phänomen auf den Grund und betrachten allgemeiner unabhängige Bernoulli-Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit sowie ein beliebiges vorgegebenes Muster beliebiger Länge aus Einsen und Nullen wie etwa 11010.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 11. *Muster bei Bernoulli-Folgen – Konkurrierende Muster

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es um rezeptfreien, verständnisorientierten Stochastikunterricht im Zusammenhang mit Bernoulli-Versuchen, und zwar genauer um die acht Muster 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 und 111 der Länge drei bei unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit ½. Nehmen wir an, Anja und Bettina spielen folgendes Spiel: Anja wählt ein beliebiges dieser Muster, und danach sucht sich Bettina ein davon verschiedenes Muster aus. Jetzt werden die Bernoulli-Versuche durchgeführt, und dasjenige der beiden Muster, das zuerst auftritt, gewinnt. Wir werden sehen, dass Anja im Nachteil ist, denn ganz egal, welches Muster sie wählt: Bettina findet immer eines, das mit der Mindestwahrscheinlichkeit 2/3 früher kommt als das von Anja. Zum Einsatz kommen hier insbesondere Zustandsgraphen und lineare Gleichungssysteme.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Kapitel 12. *Wissenswertes zur Binomialverteilung

Zusammenfassung

Dieses Kapitel vermittelt eine Überblick über wichtige Definitionen, Eigenschaften und Hintergründe im Kontext der Binomialverteilung. An manchen Stellen werden wir Anregungen für rezeptfreien, verständnisorientierten Unterricht geben. Im Unterschied zu Kap. 2 bis 8 dient dieses Kapitel nicht der Vorbereitung einer konkreten Stunde, sondern kann als fachliches Fundament für eine Unterrichtseinheit zur Binomialverteilung angesehen werden. Wir leiten alle wichtigen Eigenschaften dieser Verteilung her, und das auf eine Weise, die eine Behandlung in einem Leistungskurs ermöglicht. In einem Leistungskurs kann man auch verstehen, warum beim Grenzübergang von der Binomialverteilung zur Normalverteilung (zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace) die Kreiszahl π ins Spiel kommt.

Norbert Henze, Kai Müller, Judith Schilling

Backmatter

Title: Stochastik rezeptfrei unterrichten
Authors: Dr. Norbert Henze
Kai Müller
Judith Schilling
Copyright Year: 2021
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-62744-0
Print ISBN: 978-3-662-62743-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-62744-0