Zinsstrukturmodelle

Arbeiten zum Thema der Zinsstrukturmodelle haben am Schweizerischen In­stitut für Banken und Finanzen eine gewisse Tradition. In den letzten Jahren sind im Rahmen von Dissertationsprojekten die Arbeiten von Leitheer [1992], Haverkamp [1993], Bühler [1995], Tobler [1996], Henn [1997], Heinzl [1998] und Ammann [1998] entstanden. Als Grund für diesen Forschungsschwerpunkt kann sicherlich angeführt werden, dass die Bewertung von Derivaten insgesamt eine besondere Faszination im Rahmen der Finanzmarkttheorie ausstrahlt. Das im Rahmen der Optionspreistheorie entwickelte Konzept der arbitragefreien Bewertung von Finanzanlagen, unterscheidet sich durch die Präferenzfreiheit von der traditionellen Gleichgewichtsbewertung oder der Mean / Variance Be­wertung. Damit wird die Bewertung von Finanzinstrumenten möglich, ohne Nutzenfunktionen zu spezifizieren. Die Spezifikation der Nutzenfunktion ist in der traditionellen Bewertungstheorie ein dominanter Schwachpunkt bezüglich des Einsatzes in der Praxis, denn das Konzept der Nutzenfunktion ist recht ab­strakt: Welcher Investor weiss schon, ob er eher eine logarithmische oder eine exponentielle Nutzenfunktion hat. Obwohl die arbitragefreie Bewertung die Spezifikation einer Nutzenfunktion überflüssig macht, sind Annahmen bezüg­lich der Präferenzen der Individuen dennoch implizit in den Modellannahmen enthalten. Breeden und Litzenberger [1978], Zimmermann [1998] und Franke, Stapelton, Subrahmanyam [1997] decken auf, dass die Annahmen bezüglich der Verteilung der Wertpapiere, Präferenzen implizieren. Der Charme der Arbitra­gefreiheits-Modelle liegt deshalb weniger im Verzicht auf Präferenzannahmen, sondern vielmehr in einer intuitiveren Darstellung.

Mit der Entwicklung der Optionspreistheorie in den bahnbrechenden Arbeiten von Black und Scholes [1973] sowie von Merton [1969 und 1973] wurde der Grundstein zu einer Literatur gelegt, die sich mit der Bewertung von Derivaten auseinandersetzt. Kurioserweise wurde bereits ein Jahr vor dem Erscheinen der bekannten Optionspreisformel eine Studie von Black und Scholes [1972] publiziert, die die empirischen Eigenschaften des Black Scholes Modells testet und die bekannte Optionspreisformel wiedergibt¹.

Obwohl Modelle zur Zinsstruktur momentan stark in der Literatur vertreten sind, ist doch ein deutlicher Überhang von Modellen in stetiger Zeit gegenüber konkreten Implementationsansätzen zu verzeichnen. Die vorliegende Arbeit möchte einen Beitrag zu den zeitdiskreten Modelle leisten und, wie im ersten Kapitel, die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Zinsstrukturmodellen herausarbeiten. Zunächst erscheint allerdings ein kurzer Literaturüberblick angemessen. Das Buch von Jarrow [1996] beschäftigt sich vorwiegend mit der Implementation von Zinsstrukturmodellen. Es geht allerdings überwiegend auf die Ansätze von HJM [1990, 1991, 1992] ein und vernachlässigt daher die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Ansätzen. Das umfassende Buch stammt von Clewlow und Strickland [1998] zeigt sehr schön auf, wie verschiedene Zinsstrukturmodell zu implementieren sind. Im Unterschied zur vorliegenden Schrift wird allerdings auf die Darstellung der modelltheoretischen Hintergründe verzichtet. Jarrow [1995] liefert eine Synthese der zeitdiskreten Modelle im Kontext der Bewertung von Zinsoptionen. Hier wird sehr schön gezeigt, in welchem Zusammenhang Shortrate-, Bondpreis-und ForwardrateModelle stehen. Ein sehr interessanter Ansatz stammt auch von Carr und Jarrow [1995], die die Fristenstruktur der Futures-Preise anstatt der Terminzinssätze modellieren. Die Volatilität des Futures-Prozesses wird aus den impliziten Volatilitäten von gehandelten Futures-Optionen gewonnen. Dadurch gelingt es, allgemeine Derivate zu bewerten, selbst dann, wenn es keinen Kassamarkt fir sie gibt¹.

Eine praxisrelevante Implementierung von Zinsstrukturmodellen setzt mindestens die Berücksichtigung zweier nicht vollständig korrelierter Risikofaktoren voraus. Nur so kann der Tatsache Rechnung getragen werden, dass die längerfristigen und kürzerfristige Zinssätze durch unterschiedliche Unsicherheitsquellen beeinflusst werden, und damit unvollständig korreliert sind. So werden kurzfristige Zinssätze viel eher durch geldpolitische Massnahmen beeinflusst als langfristige Zinssätze. Langfristige Zinssätze hingegen werden eher durch fundamentale Daten wie Wechselkurse, Kaufkraftparitäten, o.ä. getrieben. Empirische Beobachtungen zeigen eine nicht vollständige Korrelation zwischen kurz-und langfristigen Zinssätzen. Durch die bisher untersuchten Einfaktormodelle der Zinsstruktur können jedoch lediglich vollständig korrelierte Zinssätze der Zinsstruktur modelliert werden. Diese Schwäche soll hier behoben werden, indem ein weiterer Risikofaktor für die Zinsstruktur gewählt wird. Dabei ist es in einem algorithmischen Ansatz nicht unbedingt notwendig, die ökonomische Natur der Risikofaktoren wiederzugeben. In Abschnitt 7 des ersten Kapitels wurden einige empirische Ansätze wiedergegeben, die auf diese Frage eine Antwort suchen. Wie Litterman und Scheinkman [1991], Bühler und Zimmermann [1996] und viele andere Autoren zeigen, hat man drei grundsätzliche Einflussgrössen auf die Zinsstruktur: Das Zinsniveau, die Steigung der Zinsstruktur und ihre Krümmung. Welche ökonomische Faktoren sich auf welche dieser Einflussgrössen besonders stark auswirken ist heute noch Gegenstand weiterer, empirischer Forschung. Besonders beliebt sind ein kurz-und ein langfristiger Zinssatz als Risikofaktoren. Chan, Karolyi, Longstaff und Sanders [1992] zeigen, dass ein Faktor zur Charakterisierung der Zinsstruktur nicht hinreichend ist.

Das weitaus liquideste Marktsegment aller an Börsen gehandelten Anlagen weltweit sind Bond-Futures Kontrakte. Auf der Internetseite der Deutschen Börse beispielsweisel¹ wird das Handelsvolumen des langfristigen BUND-Futures im September 1997 mit mehr 1.1 Bio. DEM angegeben. Bond-Futures eignen sich vorzülich zur Absicherung von zinssensitiven Portfolios. Dennoch ist ihre Bewertung und ihr Risikomanagement nicht trivial. Als besonderes Charakteristikum weisen Bond-Futures eine sog. Qualitätsoption auf. Die Shortposition des Futures, also der Lieferant des Bonds bei Verfall, hat das Recht, aus verschiedenen zur Auswahl stehenden Bonds einen nach seiner Wahl zu liefern. Er wird natürlich den seiner Ansicht nach am stärksten unterbewerteten Bond liefern, man spricht vom Cheapest to Delivery (CTD) Bond. Die Schwierigkeit besteht darin, dass bei Vertragsabschluss nicht bekannt ist, welcher der Bonds bei Verfall am günstigsten sein wird. Zusätzlich sind Bond-Futures Zinsderivate, was mit dem vorangegangenen Punkt zusammen genommen erhebliche Bewertungsschwierigkeiten impliziert. Die bis heute umfassendste Studie zu Bond-Futures unter Verwendung eines HJM Zweifaktormodells stammt von Ritchken und Sankarasubrahmanyam (RS) [1995]. Im vorliegenden Kapitel wird deren Methodologie aufgegriffen und auf die Modelle von Ho Lee, Hull White und HJM übertragen.

Die vorliegende Schrift beschäftigt sich mit Modellen zur Zinsstruktur. Die Literatur zu diesem Themenkomplex hat in den letzten Jahren einen dominanten Stellenwert erlangt. Der Text hier mächte einen Beitrag dazu leisten, diese Literatur aufzuarbeiten, miteinander zu verbinden und zur Implementation in der Praxis vorzubereiten. Die Arbeit ist in vier Kapitel untergliedert. Das erste Kapitel bereitet die stochastischen Grundlagen zur Literatur der Zinsstrukturmodelle auf. Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Implementation von Einfaktormodellen der Zinsstruktur, das dritte Kapitel mit der Implementation von Zweifaktormodellen der Zinsstruktur. Auch wenn andere Modelle zur Zinsstruktur nicht ignoriert werden, liegt das Schwergewicht der Kapitel zwei und drei auf den Modellen von Heath Jarrow Morton, Hull White und Ho Lee. Im vierten Kapitel werden Bond-Futures Kontrakte sowohl theoretisch wie auch empirisch untersucht. Für den deutschen Bond-Futures Markt zeigt sich eine erhebliche Fehlbewertung von BUND- und Bobl-Futures, die auf eine implizite Qualitätsoption der Kontrakte zurückzufuhren ist.