Mathematikunterricht im Kontext von Realität, Kultur und Lehrerprofessionalität

Die wissenschaftliche Laufbahn von Gabriele Kaiser begann bereits 1973 als Studentin für das gymnasiale Lehramt mit den Fächern Mathematik und Gesellschaftslehre an der damaligen Gesamthochschule Kassel. Im Seminar „Genese und Anwendbarkeit von Mathematik“, geleitet von Werner Blum, fiel Gabriele Kaiser als besonders aktive Studentin auf, die vor allem die gesellschaftliche Relevanz der Mathematik einforderte.

In this article, I express, in a synthetic way, ideas and proposals from the German teacher-researcher Gabriele Kaiser about Mathematical Modelling for Education. In order to comprehend her research work, the data was obtained through two approaches: indirect, by means of 6 articles published by her or in co-authorship; and direct, by means of an interview. The essence of the 6 article summaries resides in the recognition of the context in which each research object is inserted and in the appreciation of the interactions and integrations of the facts and the people involved. The points raised suggest how much she has experimented, innovated, contributed to new productions, to new ways of teaching and conceiving modelling. The findings and propositions pointed out in each of these articles, not only provide us with a deeper view of the situation, but also, allow us to redefine the means to adapt them to our educational actions, and mark one more way in our knowledge map.

Interdisciplinarity issues are not new in the field of education but they are given now an increasing importance, which reflects both in research interests and curricular decisions. In this text, I would like to use my personal experience of interdisciplinarity for approaching some of its dimensions and affordances in mathematics education, from its contribution to theoretical reflection to its role in teacher education. In doing so, I will refer to and comment upon some of the areas addressed by Gabriele Kaiser over her long productive career, and especially her research on mathematical modeling and teacher education.

The paper reviews the central role that applications have played in English mathematics and mathematics education, and how the explicit teaching of modelling in schools and universities has developed over the last half century. Starting with the still-present influence of Isaac Newton, it goes on to the stimulus that the launch of Sputnik gave to innovation in mathematics curricula and the emergence of modelling as an element in curricula. The exciting developments of the first 30 years are outlined, as are the adverse effects of the introduction of the National Curriculum in 1989. This personal account concludes with some comments on current issues – both challenges and opportunities.

DQME, d. h. Developing Quality in Mathematics Education, war der Name von zwei Comenius-Projekten. Beim ersten von 2004 – 2007 waren vier Länder, beim zweiten von 2007 – 2010 waren elf Länder beteiligt. Ziel war die Entwicklung von realitätsnahen Unterrichtsmaterialien mit einer „europäischen Dimension“. Besonderes Kennzeichen der Projekte war die enge Verzahnung von Theorie und Praxis. Dies wurde dadurch gewährleistet, dass in jedem Land (mindestens) ein Team bestehend aus Vertretern der fachdidaktischen Forschung und aus praktizierenden Lehrkräften beteiligt war. Zuerst wird in Abschnitt 2 das Design der Projekte dargestellt. In den Abschnitten 3 bis 6 werden einige Modellierungsbeispiele beschrieben.

In this paper we present a pedagogical strategy developed to work with students in a calculus course for Biology majors at UNESP, State University of São Paulo, Brazil. This proposal involves two trends in mathematics education: modeling and technology. Beginning on the first day of the course, we use computer technology to present students with issues regarding malaria and a system of linear differential equations. Students are introduced to some calculus concepts with the help of the professor and computer technology. We present the pedagogical proposal and use the notion of humans-with-media to emphasize the role of technology in a collective that discusses the modeling of malaria to understand how humans are infected.

It is not always easy to devise classroom activities that of themselves are inherently interesting. In this paper the problem of devising a games programme for children at a birthday party is revisited and classroom activities are suggested that ascribe to goals for applications and modelling.

Im Folgenden wird anhand von Beispielen gezeigt, dass Schülerinnen und Schüler in offenen Unterrichtssituationen durchaus andere Wege als die herkömmlichen beschreiten. Dazu wurden zwei unterschiedliche Modellierungsaufgaben gewählt. In der ersten ist das Problem, eine Abwasserleitung zu optimieren; in der zweiten wird die Frage nach der Länge der Gelbphase von Ampeln bearbeitet. Hinsichtlich der Diskussion wird der Fokus auf die Realisierung durch ein mathematisches Modell gelegt.

Doing math means calculating. Yes, but doing math means as well setting up mathematical models for better understanding parts of the real world. The complexity of such modelling tasks makes it difficult to itemize them in the classroom. At this point the proposal of the so-called “pictorial problems” comes into the game: These are unusual open-ended problems, which can be used just as well in mathematics classrooms as in mathematics team competitions, to foster problem solving skills of each student, to improve team work competences in small groups of students, suitable for lower and upper secondary school students, useful in developing, exercising and testing of skills.

Mathematical problem solving is the primary goal of school mathematics curriculum in Singapore. Prospective secondary school mathematics teachers, as part of their teacher education at the National Institute of Education, undertake a 96 hour course called Teaching and Learning of Mathematics. Throughout the course, as part of the study of content and pedagogy of various topics of secondary mathematics, they are engaged in solving mathematical problems. A formal introduction to mathematical problem solving and review of the relevant literature is done at the beginning of the course. As an introduction to mathe-matical problem solving, we engage our teachers in several tasks, one of which is the Circular Flower Bed, to jump start discussion on mathematical problem solving and bridge theory into practice. The goal of the task is to engage prospective teachers in problem solving and initiate discussion on the process of finding a solution, specifically the feelings, emotions and regulation of thinking during the process.

In this chapter we reflect on issues in the teaching and learning of mathematical modelling that connect selected interests and themes from our work with cognate issues and themes in the published work of Gabriele Kaiser. These engage respective topics of authenticity of the modelling enterprise, issues associated with modelling in educational contexts, implications concerning metacognition for both students and teachers, alternative conceptions of the purpose of modelling that are found in the field of educational practice, associated criticisms that are levelled at mathematical modelling in educational settings, and beliefs of teaching practitioners about the nature and value of mathematical modelling as a curriculum component. In reflecting across the domains encompassed by these topic areas, our purpose is to highlight factors that remain telling challenges to the continued development of our field, and emphasise issues that make this field a special one because of the rich outcomes that can be achieved.

Wie wird Wissen beim Modellieren gebildet und was macht es aus? Dieser Frage wird durch die Analyse des Lösungsprozesses eines Modellierungsproblems mithilfe epistemischer Handlungsmodelle nachgegangen. Die Rekonstruktion der Wissenskonstruktion und seiner Erkenntnisse beim Modellieren zeigt, dass so genannte Modellierungsprinzipien zum kontextgeprägten Strategiewissen über Modellieren gehören, dass Situations- und Realmodell als ineinander geschachtelt auftreten und das mathematische Modell implizit enthalten können und dass Sichtwechsel zentrale Schritte im problemhaltigen Modellierungsprozess markieren.

Mapping, d. h. das Anfertigen von Begriffsnetzen, kann im Schulunterricht zu verschiedenen Zwecken eingesetzt werden. Die häufigste Funktion ist derzeit vermutlich eine Aktivierung des Vorwissens von Lernenden in unterrichtlichen Einführungsphasen. Diese Art der Mapping ist unter der Bezeichnung Mind Map bekannt. Andere Map-Arten wie z. B. Concept Maps können aber auch als Strukturierungshilfe im mathematischen Modellierungsprozess von Lernenden oder für die Erklärung neuer Inhalte von Lehrpersonen verwendet werden. In diesem Beitrag analysieren wir zunächst für den Mathematikunterricht zentrale kognitive Grundlagen von Visualisierungen, stellen verschiedene Arten von Mapping vor und fassen den Forschungsstand zur Wirkung von Maps auf (mathematische) Lernprozesse und Leistungen zusammen. Im Anschluss daran werden erste Ergebnisse einer Studie präsentiert, in der Studierende und Lehrkräfte eine Map zur Erklärung einer mathematischen Modellierungsaufgabe entwickelt haben.

Umfassende Modellierungsaufgaben erfordern viele Bearbeitungsschritte wie Vereinfachungen, Rechnungen, Interpretationen und Überprüfungen. Fasst man diese Schritte als Teilkompetenzen des Modellierens auf, so ist es sinnvoll, Aufgaben zur Diagnose und Förderung von Teilkompetenzen des Modellierens zu entwickeln, mit dem Ziel umfassende Modellierungskompetenzen von Schülerinnen und Schülern zu fördern. Die Beschäftigung mit Aufgaben zu Teilkompetenzen des Modellierens kann in der Lehreraus- und- fortbildung genutzt werden, um viele wichtige Aspekte der Aufgabenentwicklung und des Modellierens im Mathematikunterricht zu thematisieren.

Much past research based on model eliciting activities (MEAs) has shown that it is possible to directly observe processes that enable students to develop progressively more productive ways of thinking about problem situations. In this paper, we introduce a class of MEAs that are designed to explicitly focus on the parallel and interacting development of systems of interpretation that occurs in realistic solutions to complex modeling tasks. When engaging with this class of activities, the model development that occurs is more like the interactions among evolving partial interpretations and primitive ways of thinking than the progression along a trajectory or pathway that refines a single model of the situation.

Die Frage nach dem Sinn schulischen Mathematiklernens wird insbesondere in der Sekundarstufe immer wieder von Schülerinnen und Schülern gestellt (Gebhard, 2003; Hurrelmann, 1983). Dabei bilden gelingende Sinnkonstruktionen einen wichtigen Faktor für erfolgreiche Lernprozesse (Vollstedt, 2011; Vorhölter, 2009). Um dieses Potenzial im Unterricht nutzen zu können, stellt sich die Frage, wie Unterricht gestaltet werden kann, um gelingende Sinnkonstruktionen zu ermöglichen. Der vorliegende Beitrag stellt zunächst eine theoretische Konzeption von Sinnkonstruktion vor. Diese wird anhand von verschiedenen, im Rahmen von zwei empirischen Studien rekonstruierten Sinnkonstruktionsarten ausdifferenziert, die in eine Typologie der Sinnkonstruktion weiterentwickelt wurden (vgl. Vollstedt, 2011; Vorhölter, 2009). Im Folgenden wird vorgestellt, inwiefern normativ gewünschte Sinnkonstruktionsarten durch eine bestimmte Unterrichtsgestaltung provoziert werden können.

Mathematikunterricht wird vielfach aufgefasst als eine ‚relativ sprachfreie Domäne‘. Hohe Aufmerksamkeit besteht gegenüber der fachlichen Terminologie, also der Einzelwörter und Ausdrücke fachlicher Provenienz, und ihren Funktionen für mathematisches Lernen. Weniger im Fokus ist die Rolle des Textes, in den die Terminologie eingewoben ist. Aus interkulturell-erziehungswissenschaftlicher Perspektive liegt hier ein Versäumnis, denn die Funktion des Textverstehens für die Chance auf das Lernen einer Sache wird dabei unterschätzt. Von diesem Standpunkt und seinen Begründungen handelt der folgende Text. Er stellt den Ansatz der ‚durchgängigen Förderung bildungssprachlicher Kompetenz‘ vor, mit dem intendiert ist, den Stellenwert zu klären, den sprachliches Lernen für das fachliche Lernen - auch in der Mathematik - besitzt.

Females’ participation in areas long considered to be male domains has improved over time. Nevertheless, gender differences in performance continue to be reported in large scale mathematics achievement data. In contemporary research literature, reference is frequently made to the impact of pervasive societal beliefs about gender linked capabilities on students’ performance. et the public’s views are sought directly all too rarely. In this paper we focus on the public’s perceptions about mathematics and the gendering of mathematics. Data were gathered from pedestrians as they walked in the street and via the social network website Facebook.

Nach einer kurzen Beschreibung der zwei Hauptströmungen in der aktuellen feministischen Diskussion werden die Positionen zu Geschlechtsunterschieden in Mathematik thematisiert und kurz skizziert. Erklärungsansätze zu den kulturell bedingten Geschlechtsunterschieden in der mathematischen Leistung werden kurz aufgezählt. Schließlich wird die Rolle der Messmodelle bei der Auswertung von Testresultaten betont und das Nested-Faktormodell eingeführt. Die überraschenden Resultate der Auswertung anhand des Nested-Faktormodells der Tests von ca. 29.000 SchülerInnen bei der PISA-2000 Studie in Deutschland werden dargestellt und diskutiert.

Ziel des vorliegenden Beitrags ist zu klären, ob sich unter Mathematiklehramtsstudierenden verschiedene Kulturen identifizieren lassen, je nachdem ob sie ein Unterrichtsfach aus dem mathematisch-informatisch-naturwissenschaftlich-technischen (MINT) Spektrum oder ein anderes Zweitfach gewählt haben. Deutlich wird, dass der Anteil von Studierenden, die sich unter sonst gleichen Umständen für ein MINT-Zweitfach entscheiden, bei Männern mehr als doppelt so hoch ist als bei Frauen. Ebenso beträgt der Anteil im Falle des Besuchs eines Leistungskurses in Mathematik im Vergleich zu einem Grundkurs mehr als das Doppelte. Die Kompetenzentwicklung verläuft in den ersten beiden Jahren der Sekundarstufenlehrerausbildung unterschiedlich. Allerdings stellt die Wahl des Zweitfachs keinen ausschlaggebenden Faktor dar. Stattdessen wird das Geschlecht ein weiteres Mal relevant, wenn es um den Erwerb fachwissenschaftlichen Wissens geht. Für den Erwerb fachdidaktischen Wissens spielt die Abiturnote eine Rolle. Die Ergebnisse sprechen eher gegen die Annahme zweier Kulturen.

This attempt at stock-taking deals with out-of-field teaching in mathematics - examined both from our German perspective and from an international perspective. It is obvious that there is much more out-of-field teaching in math in schools than generally assumed. Therefore, the community of mathematicians as well as the mathematics lecturers at university have to notice a field of action which requires our permanent and full attention: On the one hand there is no way to avoid enhanced training courses for certain groups and types of school, on the other hand you have to set a suitable course via regulations for the education of teachers so that the teaching staff who are subsequently responsible for the math classes in schools has obtained a basic education in the first phase of their qualification. Since all in all an increasing shortage of qualified math teachers is anticipated, measures to enhance the attraction of this specialist teaching profession - as far as possible in combination with another affine subject - are essential.

Welches fachwissenschaftliche Wissen sollen künftige Lehrkräfte für das Lehramt Grundschule erwerben? Und welche Formate können geeignete Lerngelegenheiten in der universitären Phase haben? Die oft nur wenigen Studienanteile für fachliche Lernprozesse erfordern eine fachwissenschaftlich substantielle und zugleich berufsfeldbezogene elementarmathematische Bildung von höherem Standpunkt (F. Klein), etwa in der Geometrie oder Arithmetik. Sollen darüber hinaus aber auch Grunderfahrungen zur Mathematik moderner Prägung als Anwendungswissenschaft, als Strukturwissenschaft und als Feld individueller kreativer und heuristischer Betätigung (H. Winter) vermittelt werden, braucht es einen Gegenstand, der ebenso mathematisch reichhaltig wie zugänglich ist. Mit Bezug auf nationale und internationale Erfahrungen wird in diesem Beitrag die Theorie und Anwendung von Graphen vorgeschlagen und bildungstheoretisch und kompetenztheoretisch diskutiert. Konkrete Beispiele aus der Grundschullehrerbildung untermauern, wie weitreichend das Thema epistemologische, wissenschaftstheoretische und auch didaktische Fragestellungen eröffnet.

Vorgestellt wird der Entwurf für ein Forschungsprojekt zur Bestimmung des professionellen Wissens von Lehrkräften an Grundschulen im Fach Mathematik. Die zu bestimmenden Kompetenzen werden einschlägigen Untersuchungen folgend im Sinne von „pedagogical content knowledge“ modelliert. Spezifisch an dem Vorhaben ist eine Fokussierung auf den Inhaltsbereich „Raum und Form“, da dort spezifische Defizite in der Kompetenz der Lehrkräfte vermutet werden. Das Messinstrumentarium ist dadurch gekennzeichnet, dass die Items zu domänen-integrierenden Itembündeln zusammengefasst werden, um zu erheben, ob und in wie weit die Lehrkräfte eine integrative Perspektive auf die Domänen Fachwissenschaft, Fachdidaktik und pädagogischem Unterrichtswissen entwickeln.

Mit der Studie TEDS-M 2008 (Teacher Education and Development Study: Learning to Teach Mathematics) hat die IEA (International Association for Evaluation of Educational Achievement) zum ersten Mal die Lehrerbildung mit einer internationalen Vergleichsstudie in den Blick genommen. TEDS-M hat sich zum Ziel gesetzt, die Mathematiklehrerausbildung für die Primarstufe und die Sekundarstufe I in verschiedenen Ländern zu erfassen und insbesondere unter dem Aspekt ihrer Wirksamkeit zu vergleichen. 17 Länder haben insgesamt an TEDS-M 2008 teilgenommen, 15 mit repräsentativen Stichproben an der Primarstufenstudie, über die hier berichtet werden soll.

Aus einem gemeinsamen Forschungsprojekt zwischen der Universität Hamburg und der University of Hong Kong ist eine international vergleichende Studie hervorgegangen, die das professionelle Wissen angehender Mathematiklehrkräfte im Bereich der Elementarmathematik vom höheren Standpunkt untersucht. Dafür wurden für die Studie Aufgabenformate zu verschiedenen elementarmathematischen Inhalten entwickelt, mit denen das professionelle Wissen von Lehramtsstudierenden verschiedener Länder in diesem Bereich empirisch erfasst werden soll. Der Beitrag stellt das Konzept der Studie und zugleich erste Ergebnisse dar. Insbesondere werden im Beitrag exemplarisch Fehlvorstellungen der Studierenden zu zentralen schulmathematisch relevanten Themen wie etwa dem Funktionsbegriff beschrieben und ermöglichen einen Einblick in den Kenntnisstand der Studierenden im Bereich der Elementarmathematik vom höheren Standpunkt.

Felix Klein hat den Begriff der „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“ geprägt, auf den bis heute in der Diskussion um das Fachwissen von Lehrerinnen und Lehrern Bezug genommen wird. Wir wollen in diesem Beitrag anhand eines konkreten Beispiels diskutieren, wie dieser Begriff eine Leitlinie für die Beschreibung des notwendigen Fachwissens von Lehrkräften und damit auch für die Inhalte des Lehramtsstudiums sein kann. Als Ausgangspunkt betrachten wir die Identität

$$ 0,\bar{9}=1 $$

vor dem Hintergrund der Zweideutigkeit der Darstellung reeller Zahlen und erläutern Begründungszusammenhänge auf schulfachlichem und fachwissenschaftlichem Niveau.

Die Entwicklung der Rechenfertigkeit beim Addieren im Verlauf des ersten Schuljahres ist der Gegenstand der Untersuchung einer Feldstudie mit über 2600 Schülerinnen und Schülern zu Beginn des letzten Schuljahrsquartals im Schuljahr 2010/11. Getestet werden bis auf die Aufgabe 0 + 0 alle Aufgaben des Einspluseins. Eine Vorläuferstudie fand mit fast 2500 Schülerinnen und Schülern im Jahr 2002 am Ende des ersten Schulhalbjahres statt. Es zeigt sich eine Unterteilung des Aufgabenpools in Cluster von „leichten“ und „schweren“ Aufgaben, die sich beim Vergleich der beiden Studien im Laufe des Schuljahres nicht hinsichtlich der Struktur, sondern nur hinsichtlich der relativen Lösungshäufigkeit verändert. Schon früh wird das Kommutativgesetz (intuitiv) ausgenutzt. Entscheidend für den Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe ist die „handelnde“ Zahl. Die Zahl Zehn hat ein doppeltes Gesicht: Aufgaben mit der Zehn als Summand oder Ergebnis sind „leicht“, Aufgaben mit Zehnerüberschreitung sind „schwer“.

Explikationsaufgaben sind Aufgaben, die verlangen, einen Sachverhalt zu erklären, ohne die gestellte Aufgabe vollständig durchzurechnen. Sie dienen zur Erfassung prozessbezogener Kompetenzen wie Argumentieren und Kommunizieren. Eine solche Aufgabe aus der zentralen Prüfung 2008 für Klasse 10 der Gymnasien in Nordrhein-Westfalen, die „Korbwurf-Aufgabe“, wird anhand von ausgewählten authentischen Schülerlösungen und den entsprechenden Korrekturen analysiert. Insbesondere zeigt sich dabei die charakteristische Spannung zwischen den beiden – zwar verwandten aber eben doch unterschiedlichen – Kompetenzen Kommunizieren und Argumentieren.

Auf Basis der Bildungsstandards werden Aufgaben für die Lernstandserhebungen im Fach Mathematik entwickelt. Dieser Artikel gibt einen Überblick über den Prozess der Aufgabenentwicklung, diskutiert an Beispielen das diagnostische Potenzial einzelner Aufgabenformate und zeigt auf, wie Testergebnisse im Hinblick auf Unterrichtsentwicklung quantitativ und qualitativ ausgewertet werden können. Abschließend werden Voraussetzungen für einen konstruktiven Umgang mit diesen Testergebnissen benannt.

For a long time, researchers explored effective teaching using a product-process research paradigm. However, in recent years, researchers have used alternative research paradigms to explore effective teaching (e.g., Cai, Kaiser, Perry, & Wong, 2009). The two authors of this chapter have been involved in this line of research for the past 10 years. The most recent investigation of the first author focused on the conceptualization of effective teaching and teachers’ conceptions of effective teaching. The second author focused on both students’ and teachers’ views of effective teaching. In this special occasion to celebrate Professor Kaiser’s 60th birthday, we would offer not only a summary of these investigations but also a dialogue between us. By looking back at these studies and reflecting on their findings, we want to project a new outlook on such a fruitful field of educational research.

Gabriele Kaiser hat in vielen ihrer Arbeiten und Vorträgen verschiedene Blickwinkel auf Lehr-Lernsituationen und die professionelle Kompetenz von Mathematiklehrkräften thematisiert und immer auch um begriffliche Klärungen gerungen. Das betrifft insbesondere auch das mathematische Modellieren als eine im allgemeinbildenden Mathematikunterricht zu vermittelnde fachliche Kompetenz im Spannungsfeld zwischen fachmathematischer Sicht auf das Modellieren und bildungspolitisch gefärbten Interpretationen für die Schule. In diesem Beitrag wird gezeigt, welche Potenziale, aber auch welche methodischen Schwierigkeiten in sogenannten Selbstlernumgebungen stecken, wenn sie z. B. gezielt zur Ausbildung von Metakompetenz1 bzg. mathematischen Modellierens, Argumentierens und Problemlösens im Mathematikunterricht eingesetzt werden.

Vor- und Nachteile des Einsatzes digitaler Technologien und speziell des Einsatzes von Computer Algebra Systemen (CAS) im Mathematikunterricht werden weltweit kontrovers diskutiert. Im Folgenden wird der Frage nachgegangen, welche Bedeutung digitale Technologien in den nächsten Jahren und Jahrzehnten bekommen werden oder könnten. Es wird insbesondere gefragt, auf welchen aktuellen Er-kenntnissen sich eine vorausschauende Antwort aufbauen lässt, und es soll schließlich auch die Frage nach einer Vision für zukünftige Entwicklungen gestellt werden. Ausgehend von Entwicklungen in der Vergangenheit und einer kritischen Analyse der aktuellen Situation im Hinblick auf den Einsatz digitaler Technologien im Unterricht werden vor dem Hintergrund der persönlichen Erfahrungen des Autors fünf Thesen zum Einsatz digitaler Technologien im zukünftigen Mathematikunterricht aufgestellt.

Der Artikel befasst sich mit den verschiedenen Möglichkeiten, anhand eines Beobachtungsrasters zur Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts beizutragen. Seine Möglichkeiten für die Kompetenzentwicklung in der Ausbildung ebenso wie für die Arbeit mit Schülerinnen und Schülern im Unterricht und in der außerschulischen Förderung werden vorgestellt.

Forschendes Lernen war als „Entdeckendes Lernen“ oder in Form der von Wagenschein entwickelten „Genetischen Lehrweise“ schon immer Thema einer fächerübergreifenden unterrichtlichen Lehr-Lern-kultur. Der Beitrag arbeitet im Anschluss daran - mit Blick auf die aktuellen Bemühungen der Mathematikdidaktik um die Förderung der „Modellierungskompetenz“ von Lernenden - die methodische Struktur forschenden Lernens für den Unterricht auf verschiedenen Altersstufen heraus. Ebenso werden die Voraussetzungen seines Gelingens auf Schüler- und Lehrerseite beschrieben. An drei Beispielen wird die Praxis forschenden Lernens für verschiedene Fächer der Sekundarstufe illustriert, speziell auch für den Kunstunterricht. In einem kurzen Fazit wird die Wirkung des forschenden Lernens in dessen besonderen Möglichkeiten zur kognitiven Aktivierung der SchülerInnen gesehen.

Trotz methodischer und methodologischer Schwierigkeiten bieten Unterrichtsvergleiche über kulturelle und nationale Grenzen hinweg einen spezifischen und durch andere Vorgehensweisen nicht zu ersetzenden Erkenntnisgewinn. Ausgehend von einem überblick vergleichender Forschung im Bereich mathematischer Unterrichtspraxis und ihrer Kritik werden in diesem Beitrag zunächst grundlegende Herausforderungen vergleichender Untersuchungen zu Unterrichtspraxis benannt. Dann argumentiere ich, dass und wie ein rekonstruktiver Ansatz das grundlegende Problem der Vergleichbarkeit von Unterrichtspraxis konstruktiv wenden kann. Am Beispiel meiner vergleichenden Untersuchungen zu unterrichtlichen Beweisprozessen zeige ich zudem die Bedeutung und Relevanz fachspezifischer vergleichender Rekonstruktionen von Unterrichtspraxis auf.

In der deutschsprachigen mathematikdidaktischen Diskussion konkurrieren zwei als paradigmatisch einzuschätzende Ansätze über die theoretische Fundierung von Unterrichtsinnovation: der soziale Konstruktivismus und der kognitive Konstruktivismus. Es wird eine Charakterisierung dieser Ansätze mit Hilfe der antagonistischen Unterscheidung von Genetischem Interaktionismus und Genetischem Individualismus nach Miller (1986) vorgenommen. Dies erlaubt die „Gräben“ zwischen den beiden Paradigmen neu zu bewerten. Auf dieser Basis wird der Versuch einer Annäherung der beiden Positionen unternommen.

Ein Blick in ein beliebiges Mathematikbuch überzeugt davon, dass Zeichen (Symbole, Diagramme, Formeln, Graphiken) in der Mathematik eine wichtige Rolle spielen. Oft wird diese allerdings primär als Veranschaulichung oder Darstellung von im Prinzip abstrakten Objekten gesehen. Demgegenüber wird hier dafür argumentiert, die operative Zeichenpraxis, also das Arbeiten in und mit Zeichensystemen nach Regeln, ontologisch, epistemologisch und didaktisch in den Vordergrund zu stellen. Pointiert: Mathematisches Denken erfolgt am Papier durch die Handhabung von Zeichen, die damit nicht mentales Denken bloß ausdrücken. Dies beruht auch darauf, dass (mathematische) Zeichen nicht nur Werkzeug, sondern auch ganz wesentlich Gegenstand des Denkens, Untersuchens, Erforschens und Beobachtens sind.

Der folgende Beitrag räumt zunächst mit der Vorstellung auf, das Unterrichten von Mathematik wäre eine einfache Angelegenheit (und erfordere im Wesentlichen nur fachliches Know-how). Das Lehren und Lernen von Mathematik ist jedoch ein komplexer Prozess, das Erforschen desselben nicht minder. Die Komplexität wird noch gesteigert, da es einerseits eine Vielzahl von Lehrerinnen und Lehrern wie auch Wissenschaftlerinnen und Wissenschaftlern gibt, die sich aus ihren jeweils individuellen Interessen und Perspektiven mit Mathematikunterricht beschäftigen. Andererseits gibt es weitere relevante Personen, Gruppen und Institutionen, welche aus jeweils unterschiedlichen Motiven am Mathematikunterricht und seiner konkreten Gestaltung interessiert sind.

In this paper we describe a number of mathematics education projects for which funding was requested – but never materialized. Most of these ideas were considered too innovative or too expensive at the time. We believe that these still could and should be undertaken.

Modeling can take place in many different contexts and in many different school situations. I will give a short glimpse into some 9

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grades who were working with the relation between geometrical and algebraic representations. Phenomenography will be used as a theoretical framework.