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2017 | Book

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Übungsbuch zur Analysis

Aufgaben und ausführliche Lösungen (nicht nur) für Studierende der Informatik

Author: Jens Kunath

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

About this book

Dieses Buch bietet neben einem kompakten Theorieteil eine Vielzahl an Aufgaben und Lösungen, die inhaltlich auf eine Einführung in die Analysis für Informatiker zugeschnitten sind. Die Aufgaben zu den üblichen Themen der eindimensionalen Analysis werden abgerundet durch solche zu den mathematischen Grundkompetenzen, über die jeder Studierende der Informatik verfügen sollte.Die ausführlichen Lösungen ermöglichen dem Leser, Arbeitsmethoden der Analysis verstehen zu lernen und den eigenen Wissensstand selbst zu überprüfen. Somit eignet sich diese Aufgabensammlung hervorragend zur Prüfungsvorbereitung und als Begleitbuch zur Vorlesung und den Übungen.Auch für Studierende anderer Fächer stellt diese Beispielsammlung eine ausgezeichnete Ergänzung zu ihren Lehrbüchern und Skripten dar.

Frontmatter

Teil 1 Theorie kompakt

Frontmatter

1 Vollständige Induktion

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Peano-Axiome und das Beweisprinzip der vollständigen Induktion vorgestellt.

Jens Kunath

2 Der Körper der reellen Zahlen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Eigenschaften des Körpers der reellen Zahlen in kompakter Form aufgelistet. Neben den wichtigen Körperaxiomen (Axiome der Addition, Axiome der Multiplikation, Distributivgesetz) werden die Anordnungsaxiome, das Axiom des Archimedes und das Vollständigkeitsaxiom angegeben. Weiter werden die Betragsfunktion und ihre Eigenschaften genannt, außerdem alle wichtigen Definitionen für die Behandlung von beschränkten Mengen.

Jens Kunath

3 Konvergenz reeller Zahlenfolgen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird der für die Analysis zentrale Begriff einer reellen Zahlenfolge genau definiert und wichtige Eigenschaften von reellen Folgen vorgestellt (Beschränktheit, Monotonie). Nach der Definition des Grenzwertes und der Konvergenz einer Folge werden die wichtigsten Rechenregeln für konvergente Folgen aufgelistet.

Jens Kunath

4 Konvergenzkriterien für Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird zunächst erläutert, was unter einer Reihe zu verstehen ist. Weiter werden Konvergenz und absolute Konvergenz einer Reihe definiert. Schließlich werden die wichtigsten Kriterien genannt, mit deren Hilfe Reihen auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden können (Konvergenzkriterium von Cauchy, Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen, Majoranten-, Quotienten- und Wurzelkriterium).

Jens Kunath

5 Stetigkeit von Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden nach der Definition des Funktionsgrenzwertes die Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte genannt. Daran schließt sich die Definition einer stetigen Funktion und der stetigen Ergänzbarkeit einer Funktion an. Es werden Kriterien genannt, mit denen eine Funktion auf Stetigkeit untersucht werden kann (Folgenkriterium, Epsilon-Delta-Kriterium), und wichtige Eigenschaften stetiger Funktionen (Zwischenwertsatz, Maximum und Minimum einer stetigen Funktion).

Jens Kunath

6 Differentialrechnung reeller Funktionen in einer Variablen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die Differenzierbarkeit einer Funktion und der Begriff der Ableitung einer Funktion definiert, die üblichen Ableitungsregeln, der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz der Differentialrechnung dargestellt. Weiter werden die wichtigsten Resultate für die Kurvendiskussion bei differenzierbaren Funktionen genannt, wie zum Beispiel der Zusammenhang zwischen dem Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion und Eigenschaften der ersten Ableitung, der Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten und der zweiten Ableitung, Kriterien zur Ermittlung von Lage und Art lokaler Extremwerte und Bestimmung von Wendepunkten. Außerdem werden die wichtigen Regeln von l’Hospital zur Berechnung von Funktionsgrenzwerten vorgestellt. Abschließend wird auf umkehrbare Funktionen eingegangen und eine Regel zur Berechnung der Ableitung von Umkehrfunktionen angegeben.

Jens Kunath

7 Integralrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Treppenfunktionen, das Integral unter Treppenfunktionen, Riemannsche Summen, Ober- und Unterintegral sowie schließlich das Riemann-Integral definiert. Es folgen wichtige Aussagen zu bestimmten Integralen (Linearität- und Monotonie, Integralabschätzungen, Mittelwertsatz der Integralrechnung). Der Definition von Stammfunktionen folgt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Zum Abschluss des Kapitels werden die wichtigsten Integrationsregeln zur Berechnung von Stammfunktionen genannt (Grundintegrale, Substitutionsregel, partielle Integration) und uneigentliche Integrale definiert.

Jens Kunath

8 Approximation von Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird in zwei Abschnitten auf die Approximation von Funktionen eingegangen. Im ersten Abschnitt findet man die Approximation mit Taylor-Reihen und Taylor-Polynomen, wozu nach Definition der wichtigsten Grundbegriffe (Potenzreihe, Konvergenzradius) eine Formel zur Berechnung des Konvergenzradius einer Taylor-Reihe und eine Abschätzung des Approximationsfehlers bei der Approximation einer Funktion durch ein Taylor-Polynom angegeben werden. Im zweiten Abschnitt werden die wichtigsten Definitionen und Ergebnisse zur Approximation von periodischen Funktionen durch Fourier-Reihen und Fourier-Polynome zusammengefasst.

Jens Kunath

9 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die wichtigsten Definitionen und Methoden zur Lösung von homogenen und inhomogenen Differentialgleichungen erster Ordnung zusammengefasst (Methode der Trennung der Variablen, Methode der Variation der Konstanten).

Jens Kunath

Teil 2 Aufgaben

Frontmatter

1 Grundlagen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zur Wiederholung von wichtigen Grundlagen aus der Schulmathematik sind in fünf Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Mengenlehre und Logik, Termumformung (Bruchrechnung, Potenz- und Wurzelgesetze, Fakultät und Binomialkoeffizient, Logarithmengesetze, Summenzeichen), Gleichungen und Ungleichungen (verschiedene Typen), Funktionen (bijektive Abbildung, Funktionsbegriff, Definitions- und Wertebereich, gerade/ungerade Funktionen, Gauß-Klammer, Additionstheoreme, gebrochen-rationale Funktionen, Funktionenscharen) und Partialbruchzerlegung.

Jens Kunath

2 Zahlen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zu Zahlen sind in drei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: natürliche, ganze, rationale, irrationale und reelle Zahlen (Beweisprinzip der vollständigen Induktion, Ungleichung von Bernoulli, Anordnungsaxiome, Beweis spezieller Ungleichungen, Rechenregeln), beschränkte Mengen (Eigenschaften, Infimum, Supremum, Minimum, Maximum, Zusammenhänge) und komplexe Zahlen (Rechenregeln, Normalform, Exponentialform, Gleichungen, Darstellung von Teilmengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene).

Jens Kunath

3 Reelle Zahlenfolgen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zu reellen Zahlenfolgen sind in sechs Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Grundlagen (allgemeine und rekursive Definition von Folgengliedern; arithmetische, geometrische und alternierende Folgen; Monotonie und Beschränktheit), Konvergenz (Konvergenzbegriff, Nullfolgen, Konvergenzuntersuchung und Grenzwertberechnung bei rekursiv definierten Folgen, divergente Folgen), Rechenregeln für konvergente Folgen (Summe, Produkt, Quotient konvergenter Folgen, Sandwichregel, Beispiele zur Nichtanwendbarkeit der Regeln auf divergente Folgen), Häufungspunkte, Cauchy-Folgen und Anwendungen (Landau-Symbole, Textaufgaben, Mandelbrot- und Julia-Mengen).

Jens Kunath

4 Reihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zu Zahlen sind in drei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Grundlagen (geometrische Reihe, Beschränktheit der Partialsummenfolge, Grenzwertberechnung durch Partialbruchzerlegung), Konvergenzkriterien (Konvergenz der Partialsummenfolge, Konvergenzkriterium von Cauchy, Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen, Majoranten-, Quotienten- und Wurzelkriterium, Cauchy-Produkt von Reihen) und Anwendungen (Zinsrechnung, Textaufgaben, b-adische Brüche, Darstellung von Zahlen im Computer).

Jens Kunath

5 Stetige Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zu stetigen Funktionen sind in zwei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit (Begriff des Funktionsgrenzwertes, Berechnung von Funktionsgrenzwerten, Folgenkriterium der Stetigkeit, Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit) und Zwischenwertsatz (Beweis der allgemeinen Fassung durch Rückführung auf den Spezialfall des Nullstellensatzes, Fixpunkte, numerische Berechnung von Nullstellen).

Jens Kunath

6 Differentialrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zur Differentialrechnung sind in sechs Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Differenzierbarkeit und Ableitungsregeln, Monotonie und Mittelwertsatz (u.a. Newton-Verfahren zur numerischen Nullstellenberechnung), Regeln von l‘ Hospital, Kurvendiskussion, Extremwertaufgaben und Ableitung der Umkehrfunktion.

Jens Kunath

7 Integralrechnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zur Integralrechnung sind in zwei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Integrierbarkeit, Stammfunktion, Integrationsregeln, bestimmte Integrale und Flächenberechnung.

Jens Kunath

8 Approximation von Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zur Approximation von Funktionen sind in zwei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Taylor-Reihen, Taylor-Polynome, Fourier-Reihen und Fourier-Polynome.

Jens Kunath

9 Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel zu gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung sind in drei Abschnitten Aufgaben zu folgenden Detailthemen zusammengestellt: Einführung (Grundbegriffe, Aufstellung von Differentialgleichungen aus Textaufgaben), Trennung der Variablen und inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung (Methode der Variation der Konstanten).

Jens Kunath