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Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Balken mit Schubanteil

verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel, Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner

Erschienen in: Eindimensionale Finite Elemente

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung unter Berücksichtigung des Schubeinflusses beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung des Timoshenko-Balkens vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung eines Systems gekoppelter Differentialgleichungen verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Timoshenko-Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben linearen Formfunktionen wird ein allgemeines Konzept für beliebige Ordnung der Formfunktionen vorgestellt.

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Für eine Funktion \(f(x,y)\) zweier Veränderlicher wird eine Taylorsche Reihenentwicklung erster Ordnung um den Punkt \((x_{0},y_{0})\) üblicherweise wie folgt angesetzt: \(f(x,y)=f(x_{0}+\mathrm{d}x,y_{0}+\mathrm{d}x)\approx f(x_{0},y_{0})+\left(\tfrac{\partial f}{\partial x}\right)_{x_{0},y_{0}}\times(x-x_{0})+\left(\tfrac{\partial f}{\partial y}\right)_{x_{0},y_{0}}\times(y-y_{0})\).

Eine genauere Analyse der Schubspannungsverteilung in der Querschnittsfläche ergibt, dass sich die Schubspannung nicht nur über der Höhe des Balkens, sondern auch über der Breite des Balkens ändert. Ist die Breite des Balkens gegenüber der Höhe klein, ergibt sich jedoch nur eine geringe Änderung entlang der Breite und in erster Näherung kann von einer konstanten Schubspannung über der Breite ausgegangen werden: \(\tau_{xy}(y,z)\rightarrow\tau_{xy}(y)\). Siehe hierzu zum Beispiel [18, 2].

Man beachte, dass in der angelsächsischen Literatur oft der sogenannte Schubformfaktor (form factor for shear) angegeben wird. Dieser ergibt sich als Kehrwert des Schubkorrekturfaktors.

Als kommerzielle Beispiele können hier Maple\({}^{\circledR}\), Mathematica\({}^{\circledR}\) und Matlab\({}^{\circledR}\) angeführt werden.

Man beachte auch die weiterführende Aufgabe 8.4.

Eine numerische Gauss-Integration mit zwei Stützstellen liefert hier das gleiche Ergebnis wie die analytisch exakte Integration.

Vergleiche hierzu Abb. 8.6 und die weiterführende Aufgabe 8.6.

Man berücksichtige dazu in (8.124) die Definition von \(I_{z}\) und \(A\) und dividiere den Bruch durch \(h^{3}\).

Vergleiche hierzu Abb. 8.6 und die weiterführende Aufgabe 8.6.

Die numerische Integration nach dem Gauss-Legendre-Verfahren mit \(n\) Integrationspunkten integriert ein Polynom, dessen Grad maximal \(2n-1\) ist, exakt.

MacNeal verwendet hierzu die Bezeichnung „residual bending flexibility“ [16, 9].

Vergleiche hierzu die weiterführende Aufgabe 8.5.

Bei der sogenannten Lagrange-Interpolation werden \(m\) Punkte nur über die Ordinatenwerte mittels eines Polynoms der Ordnung \(m-1\) approximiert. Im Falle der Hermiteschen Interpolation wird neben dem Ordinatenwert auch noch die Steigung in den betrachteten Punkten berücksichtigt. Vergleiche hierzu auch Kap. 6.

Angemerkt sei hier, dass der Einfluss von Streckenlasten in der Ableitung vernachlässigt wird. Treten Streckenlasten auf, so müssen die äquivalenten Knotenlasten auch auf die verbleibenden Knoten aufgeteilt werden.

Ein ähnliches Beispiel kann [17] entnommen werden.

Vergleiche hierzu die weiterführende Aufgabe 8.6.

Bathe K-J (2002) Finite-Elemente-Methoden. Springer, BerlinCrossRef

Beer FP, Johnston ER Jr, DeWolf JT, Mazurek DF (2009) Mechanics of Materials. McGraw-Hill, Singapore

Cook RD, Malkus DS, Plesha ME, Witt RJ (2002) Concepts and applications of finite element analysis. John Wiley & Sons, New York

Cowper GR (1966) The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory. J Appl Mech 33:335–340CrossRef

Gere JM, Timoshenko SP (1991) Mechanics of Materials. PWS-KENT Publishing Company, BostonCrossRef

Gruttmann F, Wagner W (2001) Shear correction factors in Timoshenko’s beam theory for arbitrary shaped cross-sections. Comput Mech 27:199–207CrossRef

Hibbeler RC (2008) Mechanics of Materials. Prentice Hall, Singapore

Levinson M (1981) A new rectangular beam theory. J Sound Vib 74:81–87CrossRef

MacNeal RH (1978) A simple quadrilateral shell element. Comput Struct 8:175–183CrossRef

10.

MacNeal RH (1994) Finite elements: their design and performance. Marcel Dekker, New York

11.

Reddy JN (1984) A simple higher-order theory for laminated composite plate. J Appl Mech 51:745–752CrossRef

12.

Reddy JN (1997) Mechanics of Laminated Composite Plates: Theory and Analysis. CRC Press, Boca RatonMATH

13.

Reddy JN (1997) On locking-free shear deformable beam finite elements. Comput Method Appl M 149:113–132CrossRef

14.

Reddy JN (1999) On the dynamic behaviour of the Timoshenko beam finite elements. Sadhana-acad P Eng S 24:175–198MathSciNetCrossRef

15.

Reddy JN (2006) An Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill, Singapore

16.

Russel WT, MacNeal RH (1953) An improved electrical analogy for the analysis of beams in bending. J Appl Mech 20:349–354

17.

Steinke P (2010) Finite-Elemente-Methode: Rechnergestützte Einführung. Springer, BerlinCrossRef

18.

Timoshenko SP, Goodier JN (1970) Theory of Elasticity. McGraw-Hill, New YorkMATH

19.

Wang CM (1995) Timoshenko Beam-Bending Solutions in Terms of Euler–Bernoulli Solutions. J Eng Mech-asce 121:763–765CrossRef

20.

Weaver W Jr, Gere JM (1980) Matrix Analysis of Framed Structures. Van Nostrand Reinhold Company, New York

Titel: Balken mit Schubanteil
verfasst von: Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel
Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Buch: Eindimensionale Finite Elemente
Print ISBN: 978-3-662-57993-0

Electronic ISBN: 978-3-662-57994-7

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7_8

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