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2020 | Buch

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Eindimensionale Finite Elemente

Ein Einstieg in die Methode

verfasst von: Prof. Dr. Markus Merkel, Prof. Andreas Öchsner

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik"

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Über dieses Buch

Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode der Finiten Elemente wird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode nur anhand eindimensionaler Elemente zu erläutern. Somit bleibt die mathematische Beschreibung weitgehend einfach und überschaubar. Das Augenmerk liegt in jedem Kapitel auf der Erläuterung der Methode und deren Verständnis selbst. Der Leser lernt die Annahmen und Ableitungen bei verschiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und Möglichkeiten und Grenzen der Methode der Finiten Elemente kritisch zu beurteilen.

Die Beschränkung auf eindimensionale Elemente ermöglicht somit das methodische Verständnis wichtiger Themenbereiche (z.B. Plastizität oder Verbundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der Berufspraxis begegnen, jedoch in dieser Form nur selten an Hochschulen behandelt werden. Somit ist ein einfacher Einstieg – auch in weiterführende Anwendungsgebiete – durch das Konzept (a) Einführung in die Grundlagen (b) exakte Ableitung bei Beschränkung auf eindimensionale Elemente (und in vielen Fällen auch auf eindimensionale Probleme) (c) Umfangreiche Beispiele und weiterführende Aufgaben (mit Kurzlösung im Anhang) gewährleistet.

Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchgerechneten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Aufgaben inklusive Kurzlösungen vertieft.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung

In diesem ersten Kapitel werden der Inhalt und die Ausrichtung dieses Buches in vielerlei Hinsicht eingeordnet. Zunächst wird kurz auf die Entwicklung der Finite-Elemente-Methode eingegangen, berücksichtigt werden verschiedene Sichtweisen.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

2. Motivation zur Finite-Elemente-Methode

Zusammenfassung

Der Zugang zur Methode der Finiten Elemente kann aus unterschiedlicher Motivation kommen. Im Wesentlichen lassen sich drei Wege aufzeigen:

ein eher anschaulicher Weg, der die Wurzeln in der ingenieurmäßigen Arbeitsweise hat,
eine physikalisch oder
mathematisch motivierte Betrachtungsweise.

Je nach Blickwinkel ergeben sich verschiedene Formulierungen, die jedoch in einer allen gemeinsamen Hauptgleichung der Finite-Elemente-Methode münden. Ausführlich vorgestellt werden die Beschreibungsformen ausgehend von

den Matrixmethoden,
den physikalisch basierten Arbeits- und Energieprinzipien und
dem Prinzip der gewichteten Residuen.

Die Finite-Elemente-Methode wird zur Lösung verschiedener physikalischer Problemstellungen herangezogen. Hier werden ausschließlich Finite-Elemente-Formulierungen zur Strukturmechanik betrachtet.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

3. Stabelement

Zusammenfassung

Mit dem Stabelement werden die Grundbelastungsarten Zug und Druck beschrieben. Zunächst werden die elementaren Gleichungen aus der Festigkeitslehre vorgestellt. Im Anschluss wird das Stabelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definitionen für Kraft- und Verschiebungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix wird ausführlich beschrieben. Neben dem einfachen, prismatischen Stab mit festem Querschnitt und konstanten Materialeigenschaften werden in Beispielen und Übungsaufgaben auch allgemeinere Stäbe analysiert, bei denen die Größen entlang der Körperachse variieren.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

4. Analogien zum Dehnstab

Zusammenfassung

In Analogie zum Dehnstab werden Stabelemente entwickelt, anhand derer sich die Torsion und die stationäre Wärmeleitung modellieren lassen. Betrachtet werden prismatische Stäbe, die Ausführungen für die Torsion beschränken sich auf Kreisquerschnitte. Im Rahmen der Thermoelastizität werden Fälle betrachtet, bei denen das thermische und elastische Verhalten voneinander entkoppelt ist, für die elastische Analyse wird das bekannte Temperaturfeld als zusätzliche Last eingebracht.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

5. Biegeelement

Zusammenfassung

Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung der Differentialgleichung der Biegelinie verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben dem einfachen, prismatischen Balken mit konstantem Querschnitt und Belastung an den Knoten werden auch veränderliche Querschnitte, verallgemeinerte Belastungen zwischen den Knoten und Orientierung in der Ebene und dem Raum analysiert.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

6. Allgemeines 1D-Element

Zusammenfassung

In der Anwendung können die drei Grundtypen Zug, Torsion und Biegung in einer beliebigen Kombination auftreten. In diesem Kapitel wird vorgestellt, wie sich die Steifigkeitsbeziehung für ein allgemeines 1D-Element gewinnen lässt. Als Basis dienen die Steifigkeitsbeziehungen der Grundtypen. Für „einfache“ Beanspruchungen lassen sich die drei Grundtypen voneinander getrennt betrachten und einfach überlagern. Es besteht keine wechselseitige Abhängigkeit. Die Allgemeinheit des 1D-Elements bezieht sich auch auf die beliebige Orientierung im Raum. Es werden Transformationsregeln von lokalen auf globale Koordinaten bereit gestellt. Als Beispiele werden Tragwerke in der Ebene und im dreidimensionalen Raum diskutiert. Zudem wird kurz in die Thematik numerische Integration eingeführt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

7. Ebene und räumliche Rahmenstrukturen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird die Vorgehensweise zur Analyse eines gesamten Tragwerkes vorgestellt. Betrachtet werden Tragwerke, die aus mehreren Elementen bestehen und an Koppelstellen miteinander verbunden sind. Das Tragwerk ist geeignet gelagert und mit Lasten beaufschlagt. Gesucht sind die Deformationen des Tragwerkes und die Reaktionskräfte an den Lagerstellen. Zudem sind die Beanspruchungen im Inneren der Einzelelemente von Interesse. Die Steifigkeitsbeziehungen der einzelnen Elemente sind aus den vorherigen Kapiteln bekannt. Eine Gesamtsteifigkeitsbeziehung entsteht auf der Basis dieser Einzelsteifigkeitsbeziehungen. Aus mathematischer Sicht entspricht das Auswerten der Gesamtsteifigkeitsbeziehung dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Als Beispiele werden ebene und allgemein dreidimensionale Tragwerke aus Stäben und Balken vorgestellt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

8. Balken mit Schubanteil

Zusammenfassung

Mit diesem Element wird die Grundverformung Biegung unter Berücksichtigung des Schubeinflusses beschrieben. Zunächst werden einige grundlegende Annahmen für die Modellbildung des Timoshenko-Balkens vorgestellt und das in diesem Kapitel verwendete Element gegenüber anderen Formulierungen abgegrenzt. Die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre, das heißt die Kinematik, das Gleichgewicht und das Stoffgesetz werden vorgestellt und zur Ableitung eines Systems gekoppelter Differentialgleichungen verwendet. Analytische Lösungen schließen den Grundlagenteil ab. Im Anschluss wird das Timoshenko-Biegeelement mit den bei der Behandlung mittels der FE-Methode üblichen Definition für Belastungs- und Verformungsgrößen eingeführt. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix erfolgt auch hier mittels verschiedener Methoden und wird ausführlich beschrieben. Neben linearen Formfunktionen wird ein allgemeines Konzept für beliebige Ordnung der Formfunktionen vorgestellt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

9. Balken aus Verbundmaterial

Zusammenfassung

Die bisher diskutierten Balkenelemente bestehen aus homogenem, isotropem Material. In diesem Kapitel wird eine Finite-Elemente-Formulierung für eine besondere Werkstoffklasse - die Verbundmaterialien - vorgestellt. Ausgehend von ebenen Schichten wird das Verhalten für die eindimensionale Situation am Balken entwickelt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsformen für richtungsabhängiges Stoffverhalten vorgestellt. Kurz wird auch auf eine besondere Klasse der Verbundwerkstoffe, die faserverstärkten Werkstoffe, eingegangen.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

10. Nichtlineare Elastizität

Zusammenfassung

Im Rahmen dieses Kapitels wird der Fall der nichtlinearen Elastizität, das heißt dehnungsabhängiger Elastizitätsmoduli, betrachtet. Die Problematik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die Steifigkeitsmatrix beziehungsweise die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden drei Verfahren, nämlich die direkte Iteration, die vollständige Newton-Raphsonsche Iteration und die modifizierte Newton-Raphsonsche Iteration, abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert. Im Rahmen der vollständigen Newton-Raphsonschen Iteration wird die Ableitung der Tangentensteifigkeitsmatrix ausführlich diskutiert.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

11. Plastizität

Zusammenfassung

Im Rahmen dieses Kapitels werden zuerst die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, das Verfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoffmodul werden für einachsige, monotone Belastungszustände eingeführt. Im Rahmen der Verfestigung ist die Beschreibung auf die isotrope Verfestigung beschränkt, die zum Beispiel beim einachsigen Zugversuch mit monotoner Belastung auftritt. Zur Integration des elasto-plastischen Stoffgesetzes wird das inkrementelle Prädiktor-Korrektor-Verfahren allgemein eingeführt und für den Fall des vollständig impliziten und des semi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet. An entscheidenden Stellen wird auf den Unterschied zwischen ein- und dreidimensionaler Beschreibung hingewiesen, um eine einfache Übertragung der abgeleiteten Verfahren auf allgemeine Probleme zu gewährleisten. Durchgerechnete Beispiele und weiterführende Aufgaben mit Kurzlösungen dienen zur Einübung der theoretischen Beschreibung.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

12. Stabilität (Knickung)

Zusammenfassung

Der Begriff Stabilität wird im alltäglichen und technischen Sprachgebrauch vielfältig verwendet. Hier beschränken wir uns auf die statische Stabilität von elastischen Tragwerken. Die Ausführungen konzentrieren sich auf elastische Stäbe und Balken. Die Ausgangssituation ist eine belastete elastische Struktur. Bleibt die angreifende Last unter einem kritischen Wert, so verhält sich die Struktur „einfach“, und man kann das Verhalten mit den Modellen und Gleichungen aus den vorangehenden Kapiteln beschreiben. Erreicht oder übersteigt die Last einen kritischen Wert, beginnen Stäbe und Balken zu knicken. Die Situation wird mehrdeutig, neben der Ausgangslage kann es mehrere Gleichgewichtslagen geben. Aus der technischen Anwendung ist die kleinste Last kritisch, bei der sich für Stab oder Balken Knicken einstellt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

13. Dynamik

Zusammenfassung

Im Kapitel Dynamik wird zusätzlich das zeitliche Verhalten der an der Struktur angreifenden Lasten in die Analyse einbezogen. Die Vorgehensweise bei der Analyse von dynamischen Problemen hängt ganz wesentlich von dem Charakter des Zeitverlaufs der Lasten ab. Bei deterministischen Belastungen ist der Vektor der äußeren Lasten eine vorgegebene Funktion der Zeit. Der überwiegende Anteil der Problemfälle im Maschinen-, Anlagen- und Fahrzeugbau kann unter dieser Annahme analysiert werden. Im Gegensatz dazu spielt bei den stochastischen Lasten der Zufall eine Rolle. Solche Fälle werden hier nicht behandelt. Bei den deterministischen Lasten wird unterschieden zwischen

periodischen und nicht-periodischen,
langsam und schnell veränderlichen Last-Zeitfunktionen (relativ bezogen auf das dynamische Eigenverhalten der Struktur).

Im folgenden Kapitel werden lineare dynamische Prozesse behandelt, die auf eine äußere Anregung zurückzuführen sind. Das Gebiet der selbsterregten Schwingungen wird nicht behandelt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

14. Spezialelemente

Zusammenfassung

Im Rahmen dieses Kapitels werden einige Elemente für Spezialanwendungen vorgestellt. Das erste Spezialelement erweitert das klassische Bernoulli-Element um eine elastische Bettung. Im Rahmen dieses Elementes wird die sogenannte Winkler-Bettung, bei der angenommen wird, dass die von der Bettung auf den Balken ausgeübte Streckenlast proportional zur Durchbiegung ist, behandelt. Das zweite Spezialelement behandelt den Fall der Spannungssingularität. Ein Balkenelement mit einer besonderen Zuordnungsvorschrift zwischen lokaler und natürlicher Koordinate erlaubt, dass die Spannung an einem Knoten gegen unendlich strebt. Das dritte Spezialelement berücksichtigt, dass sich die Geometrie des Elementes an einem Rand bis ins Unendliche erstreckt. Zur Ableitung dieser Elemente werden spezielle Ansatzfunktionen für die Interpolation der lokalen Ortskoordinate eingeführt.

Markus Merkel, Andreas Öchsner

Backmatter

Titel: Eindimensionale Finite Elemente
verfasst von: Prof. Dr. Markus Merkel
Prof. Andreas Öchsner
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-57994-7
Print ISBN: 978-3-662-57993-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7

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