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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

10. Nichtlineare Elastizität

verfasst von : Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel, Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner

Erschienen in: Eindimensionale Finite Elemente

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Im Rahmen dieses Kapitels wird der Fall der nichtlinearen Elastizität, das heißt dehnungsabhängiger Elastizitätsmoduli, betrachtet. Die Problematik wird exemplarisch für Stabelemente dargestellt. Zuerst wird die Steifigkeitsmatrix beziehungsweise die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Dehnungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden drei Verfahren, nämlich die direkte Iteration, die vollständige Newton-Raphsonsche Iteration und die modifizierte Newton-Raphsonsche Iteration, abgeleitet und anhand von zahlreichen Beispielen demonstriert. Im Rahmen der vollständigen Newton-Raphsonschen Iteration wird die Ableitung der Tangentensteifigkeitsmatrix ausführlich diskutiert.

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Fußnoten
1
Bei plastischem Materialverhalten treten bleibende Dehnungen auf. Dieser Fall wird in Kap. 11 behandelt.
 
2
Vergleiche hierzu in Kap. 3 die Behandlung von Stabelementen mit veränderlichen Querschnittsflächen \(A=A(x)\).
 
3
Hierbei wurde angenommen, dass für \(\varepsilon=0\) die Spannung zu Null wird. Somit liegen zum Beispiel keine Eigenspannungen vor.
 
4
Man beachte, dass für Matrixmultiplikationen das Assoziativgesetz gültig ist.
 
5
Im Kontext der Finite-Elemente-Methode wird die Newtonsche Iteration oft als Newton-Raphsonsche Iteration bezeichnet [2].
 
6
Alternative Bezeichnungen in der Literatur sind Hesse-, Jacobi- oder Tangentenmatrix [9].
 
7
Man beachte, dass in kommerziellen Programmen die Berechnung der Invertierten numerisch erfolgen muss.
 
Literatur
1.
2.
Belytschko T, Liu WK, Moran B (2000) Nonlinear finite elements for continua and structures. Wiley, ChichesterMATH
3.
Betten J (2004) Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen. Springer, Berlin
4.
Cook RD, Malkus DS, Plesha ME, Witt RJ (2002) Concepts and applications of finite element analysis. Wiley, New York
5.
Crisfield MA (1981) A fast incremental/iterative solution procedure that handles snap through. Comput Struct 13:55–62CrossRef
6.
Reddy JN (2004) An introduction to nonlinear finite element analysis. Oxford University Press, OxfordCrossRef
7.
Riks E (1972) The application of newtons method to the problem of elastic stabilty. J Appl Mech 39:1060–1066CrossRef
8.
Schweizerhof K, Wriggers P (1986) Consistent linearization for path following methods in nonlinear fe-analysis. Comput Method Appl M 59:261–279CrossRef
9.
Wriggers P (2001) Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Springer, BerlinCrossRef
Metadaten
Titel
Nichtlineare Elastizität
verfasst von
Prof. Dr.-Ing. Markus Merkel
Prof. Dr.-Ing. Andreas Öchsner
Copyright-Jahr
2020
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Eindimensionale Finite Elemente

Print ISBN: 978-3-662-57993-0

Electronic ISBN: 978-3-662-57994-7

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-57994-7_10

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