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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

[100] Book Review: The Geometry and Physics of Knots by Michael Atiyah

verfasst von : Loring W. Tu

Erschienen in: Raoul Bott: Collected Papers

Verlag: Springer International Publishing

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Excerpt

If a k denotes the number of k-dimensional faces of a finite polyhedron P, then \(\chi (p) = \mathop \sum \nolimits {( - 1)^k}{a_k}\) is a topological invariant of P. This beautiful property of χ(P) goes back to Euler-or even Descartes! (see [6]), and in the 200 years since his death a large edifice of algebraic topology has grown up in which this Euler characteristic and its generalization have played a vital, and for the most part, simplifying role. Thus in the framework of cohomology x (P) is reinterpreted as \(\sum {{{\left( { - 1} \right)}^k}\dim \,{H^k}\left( P \right)} \)so that the original Euler formula sheds light on some aspects of these more sophisticated vector-space valued invariants H k (P). …

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Literatur
1. J. W. Alexander, Topoligical invariants of knots and links, Trans. Amer. Math. Soc. 30( 1928), 275.
2. R. Bott, Two new combinatorial invariants for polyhedra, Portugal. Math. 2 ( 1952), pp. 35-40.
3. S. Donaldson, An application of gauge theory to the topology of four manifolds, J. Differential Geom. 18 ( 1983), 269; Polynomial invariants for smooth four-manifolds, Oxford preprint.
4. R. MacPherson, The combinatorial formula of Gabrielov, Gelfand, and Losik for the first Pontrjagin class, Seminaire Bourbaki No. 497, Lecture Notes in Math., vol. 667, Berlin and New York, 1977.
5. L. Kaufman, State models and the Jones polynomial, Topology, 26 (1987), 395-407.
6. I. Lakatos, Proofs and refutations, Cambridge Univ. Press, London and New York, 1976.
7. V. F. R. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, Bull. Amer.Math. Soc. (N.S.) 12 (1985), 103-111.
8. E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, Comm. Math. Phys. 121 (1989),351-399.
Metadaten
Titel
[100] Book Review: The Geometry and Physics of Knots by Michael Atiyah
verfasst von
Loring W. Tu
Copyright-Jahr
2017
Buch
Raoul Bott: Collected Papers

Print ISBN: 978-3-319-51779-7

Electronic ISBN: 978-3-319-51781-0

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-51781-0_23