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Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. A Brief Introduction to Modular Forms

verfasst von : Tobias Mühlenbruch, Wissam Raji

Erschienen in: On the Theory of Maass Wave Forms

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

In this chapter, we give an overview on the theory of “classical” modular forms. What we mean by classical here are holomorphic modular forms on the full modular group or on its congruence subgroups. We give the definition of modular forms for real weights and give properties of the multiplier system. A few explicit examples of modular forms (Eisenstein series, discriminant function, holomorphic Poincaré series, and theta series) are also presented. Then, we introduce Hecke operators and L-functions and give their properties that will be needed in later chapters.

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12.

T.M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics, vol. 41, 2nd edn. (Springer, New York, 1990). ISBN 978-0-387-97127-8. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0999-7

52.

D. Bump, Automorphic Forms and Representations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 55 (Cambridge University Press, Cambridge, 1997). ISBN 0-521-55098-X

55.

C.-H. Chang, D. Mayer, Thermodynamic formalism and Selberg’s zeta function for modular groups. Regul. Chaotic Dyn. 5(3), 281–312 (2000). MR1789478. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1789478; https://doi.org/10.1070/rd2000v005n03ABEH000150

60.

J.B. Conrey, D.W. Farmer, Ö. Imamoglu, The nontrivial zeros of period polynomials of modular forms lie on the unit circle. Int. Math. Res. Not. 2013, 4758–4771 (2013). https://doi.org/10.1093/imrn/rns183 MathSciNetCrossRef

61.

R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. Vol. I (Interscience Publishers, Geneva, 1953). MR65391. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=65391

63.

A. Dabholkar, S. Murthy, D. Zagier, Quantum Black Holes, Wall Crossing, and Mock Modular Forms (2012). Preprint. arXiv:1208.4074v2[hep-th]. https://arxiv.org/abs/1208.4074

64.

P. Deligne, Formes modulaires et représentations l-adiques. Séminaire Bourbaki 355 (février 1969); Lect. Notes Math. 179, 139–172 (1971)

66.

F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics (Springer, New York, 2005). ISBN 978-0-387-23229-4. https://doi.org/10.1007/978-0-387-27226-9

74.

M. Eichler, D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms. Progress in Mathematics, vol. 55 (Birkhäuser Boston, Cambridge, 1985). ISBN 978-0-8176-3180-2

76.

Encyclopedia of Mathematics (2013). http://www.encyclopediaofmath.org/

92.

G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th edn. (Oxford University Press, Oxford, 1975)

93.

E. Hecke, Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung. Math. Ann. 112, 664–699 (1936)MathSciNetCrossRef

100.

H. Iwaniec, Topics in Classical Automorphic Forms. Graduate Studies in Mathematics, vol. 17 (American Mathematical Society, Providence, RI, 1997). ISBN 0-8218-0777-3. https://doi.org/10.1090/gsm/017

105.

H.D. Kloosterman, On the representation of numbers in the form ax ² + by ² + cz ² + dt ². Acta Math. 49(3–4), 407–464 (1927). https://doi.org/10.1007/BF02564120 MathSciNetMATH

106.

M. Knopp, Modular Functions in Analytic Number Theory (Markham Publishing Co., Chicago, IL, 1970). ISBN 9780841010000. MR265287. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=265287

112.

C. Kurth, L. Long, Computations with finite index subgroups of \(\mathrm {PSL}_2(\mathbb {Z})\) using Farey symbols, in Advances in Algebra and Combinatorics (World Scientific Publishing, Hackensack, NJ, 2008), pp. 225–242. https://doi.org/10.1142/9789812790019_0015

116.

S. Lang, Introduction to Modular Forms, 3rd edn. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 222 (Springer, Berlin, 2001). ISBN 978-3-540-07833-3. https://doi.org/10.1007/978-3-642-51447-0

124.

The LMFDB Collaboration, The L-Functions and Modular Forms Database (2019). http://www.lmfdb.org. Accessed 4 Apr 2020

125.

L. Long, Finite index subgroups of the modular group and their modular forms (2007). Preprint. arXiv:0707.3315v1. https://arxiv.org/abs/0707.3315v1

126.

A. Lozano-Robledo, Elliptic Curves, Modular Forms, and TheirL-Functions (American Mathematical Society, Providence, RI, 2015). ISBN 978-0-8218-5242-2MATH

133.

B.N. Maurizi, Construction of an ordinary Dirichlet series with convergence beyond the Bohr strip. Missouri J. Math. Sci. 25, 110–133 (2013). MR3161629. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=3161629. Zbl 06242000: http://zbmath.org/?q=an:06242000

142.

T. Miyake, Modular Forms (Springer, Berlin, 1989). ISBN 0-540-50268-8

144.

H.L. Montgomery, R.C. Vaughan, Multiplicative Number Theory. I. Classical Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 97 (Cambridge University Press, Cambridge, 2007). ISBN 978-0-521-84903-6

153.

NIST Digital Library of Mathematical Functions. Version 1.0.8. Release date 25 April 2014. https://dlmf.nist.gov/

178.

R. Schulze-Pillot, A. Yenirce, Petersson products of bases of spaces of cusp forms and estimates for Fourier coefficients. Int. J. Number Theory 14, 2277–2290 (2018). https://doi.org/10.1142/S1793042118501385 MathSciNetCrossRef

188.

W.A. Stein, Explicitly Computing Modular Forms. Electronic notes, 2006. https://wstein.org/msri06/refs/stein-book-on-modular-forms.pdf

190.

E.M. Stein, R. Shakarchi, Complex Analysis. Princeton Lectures in Analysis II (Princeton University Press, Princeton, 2003). ISBN 978-0-691-1138-2

196.

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (2016). Published electronically at http://oeis.org

200.

J. Voight, Computing fundamental domains for Fuchsian groups. J. Théor. Nombres Bordeaux 21, 469–491 (2009). https://doi.org/10.5802/jtnb.683 MathSciNetCrossRef

204.

A.J. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem. Ann. Math. (2) 141(3), 443–551 (1995). MR1333035. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1333035

205.

B. Williams, Remarks on the theta decomposition of vector-valued Jacobi forms. J. Number Theory 197, 250–267 (2019). https://doi.org/10.1016/j.jnt.2018.08.013 MathSciNetCrossRef

208.

K. Wohlfahrt, An extension of F. Klein’s level concept. Ill. J. Math. 8, 529–535 (1964). https://doi.org/10.1215/ijm/1256059574 MathSciNetMATH

Titel: A Brief Introduction to Modular Forms
verfasst von: Tobias Mühlenbruch
Wissam Raji
Verlag: Springer International Publishing
Buch: On the Theory of Maass Wave Forms
Print ISBN: 978-3-030-40477-2

Electronic ISBN: 978-3-030-40475-8

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-40475-8_1

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