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Erschienen in:
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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

A Star Product for the Volume Form Nambu-Poisson Structure on a Kähler Manifold

verfasst von : Baran Serajelahi

Erschienen in: Lie Theory and Its Applications in Physics

Verlag: Springer Singapore

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Abstract

Every symplectic (1-plectic) manifold \((M,\omega )\) of dimension 2n may be regarded as a \((2n-1)\)-plectic manifold by wedging together n copies of the symplectic 2-form to get the Liouville volume form. This volume form defines a Nambu-Poisson structure \(\{.,\dots ,.\}_{NP}\) of order 2n on \(C^{\infty }(M)\). When the manifold is Kähler, the Kähler structure can be used to define a star product (known as the Berezin-Toeplitz star product) for the Poisson algebra \(C^{\infty }(M)\). For a Kähler manifold \((M,\omega )\) we define a higher order analogue of the Berezin-Toeplitz star product on the Nambu-Poisson algebra \((C^{\infty }(M),\{.,\dots ,.\}_{NP})\).

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Fußnoten
1
These properties are known as the axioms of quantization, the exact axioms that are chosen depend somewhat on the mathematical setting. For a discussion of the reasons behind this and of the axioms that are used in the Kähler setting see [3].
 
2
\(const(\hbar )\) denotes a constant that depends on \(\hbar \).
 
3
Because of the role played by the operators on the Hilbert space \(\mathscr {H}\).
 
4
If the bracket \({\{f,g\}}_t\) converges for all t and for all \(f,g\in C^{\infty }(M)\) we would be in the most ideal situation, of course this will depend on the details of the definition of the \(C_i\).
 
5
in the sense of [5].
 
6
This principal says that the classical theory should be recovered in the limit \(t\rightarrow 0\).
 
Literatur
1.
T. Barron, B. Serajelahi, Berezin-Toeplitz quantization, Hyperkahler manifolds, and multisymplectic manifolds, arXiv:​1406.​5159 23 pages, submitted to Glasgow Math Journal in September 2014. Accepted July 2015.
2.
M. Bordemann, E. Meinrenken, M. Schlichenmaier, Toeplitz quantization of kahler manifolds and gl(N), N \(\rightarrow \infty \) limits, Comm. Math. Phys. 165 (1994), no 2, 281–296.
3.
D. Borthwick, Introduction to Kahler quantization, in First Summer School in Analysis and Mathematical Physics (Cuernavaca Morelos, 1998), 91–132, Contemp. Math., 260, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
4.
J.A. de Azcárraga, J.M. Izquierdo, n-ary algebras: a review with applications, 2010 J. Phys. A: Math. Theor. 43, 293001.
5.
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6.
V.L. Ginzburg, R. Montgomery, Geometric quantization and no-go theorems, in Poisson geometry (Warsaw, 1998), 69–77, Banach Center Publ., 51, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2000.
7.
A. Nijenhuis and R.W. Richardson Jr., Deformation of Lie algebra structures, J. Math. Mech. 171 (1967) 89–105.
8.
M. Schlichenmaier, Berezin-Toeplitz quantization for compact Kähler manifolds. A review of results, Adv. Math. Phys., 2010, Article ID 927280, 38 pages.
9.
M. Schlichenmaier, Deformation quantization of compact Kähler manifolds by Berezin-Toeplitz quantization, Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 289–306, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
10.
B. Serajelahi, Ph.D. Thesis, University of Western Ontario, 2015, Quantization of two types of Multisymplectic manifolds.
Metadaten
Titel
A Star Product for the Volume Form Nambu-Poisson Structure on a Kähler Manifold
verfasst von
Baran Serajelahi
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Singapore
Buch
Lie Theory and Its Applications in Physics

Print ISBN: 978-981-10-2635-5

Electronic ISBN: 978-981-10-2636-2

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-981-10-2636-2_49