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Erschienen in:
2013 | OriginalPaper | Buchkapitel
21. Additional exercises for Part III
verfasst von : Francis Clarke
Erschienen in: Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control
Verlag: Springer London
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Abstract
The chapter consists of several dozen exercises in the calculus of variations, the first of which is the following: Consider the problem
$$\min\;\;\; \int_{ 1}^{\,3} \big\{ \, t \big( x\,' (t)\big)^{2}-x(t)\big\} \, dt\: :\: x\in\, C^{\,2}[\,1,3\,] ,\;\; x(1)\,=\, 0 ,\; \: x(3)\,=-1. $$
(a)
Find the unique admissible extremal x
∗.
(b)
Prove that x
∗ is a global minimizer for the problem.
(c)
Prove that the problem admits no local minimizer, regardless of the values of A and B.
$$\min\;\; J(x)\:=\: \int_{-2}^{\,3} \big\{ \, t \big( x\,' (t)\big)^{2}-x(t)\big\} \, dt\: :\: x\in\, C^{\,2}[-2\,,3\,] ,\; x(-2)\,=\, A\,,\; \: x(3)\,=B $$