Algebra

verfasst von: Siegfried Bosch

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Eine verständliche, konzise und immer flüssige Einführung in die Algebra, die insbesondere wegen ihrer sorgfältigen didaktischen Aufbereitung bei vielen Studierenden beliebt ist.

Zwei Schwerpunkte werden miteinander kombiniert: Zum einen geht es um die Theorie fundamentaler algebraischer Objekte wie z. B. Gruppen, Ringe und Körper, also von Begriffsbildungen, die weit über die Algebra hinaus in der Mathematik von Bedeutung sind. Den zweiten Schwerpunkt bildet die Galois-Theorie mit ihren Anwendungen. Ausgangspunkt dieser Theorie ist das Problem der Auflösung algebraischer Gleichungen, ein Problem, das nach mannigfachen vergeblichen Versuchen zum Auffinden von Lösungsformeln für Gleichungen höheren Grades seine umfassende Klärung durch die brillanten Ideen von E. Galois fand.

Das Buch bietet neben zahlreichen Übungsaufgaben (mit Lösungshinweisen) sowie motivierenden Kapiteleinführungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die berühmten Formeln aus dem 16. Jahrhundert zur Auflösung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausführlich erläutert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

In der vorliegenden Neuauflage wurde unter dem Aspekt Lernkontrolle und Prüfungsvorbereitung erstmals eine textbegleitende Anleitung zur eigenständigen Überprüfung des Lernerfolgs und zur Einstimmung auf Prüfungssituationen realisiert. Nicht zuletzt im Hinblick auf diese Neuerung wurde der gesamte Text optimiert und nochmals einer gründlichen Revision unterzogen.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das für das Studium der Algebra unentbehrlich ist.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung

Der Name "Algebra" ist arabischen Ursprungs (9. Jahrhundert n. Chr.) und bedeutet Rechnen mit Gleichungen, etwa das Zusammenfassen von Termen der Gleichung oder das Verändern der Terme durch gleichartige Manipulationen auf den beiden Seiten der Gleichung. Dabei stellt die Gleichung eine Beziehung dar zwischen bekanntenGrößen, den sogenanntenKoeffizienten, sowie den unbekannten Größen oder Variablen, deren Wert man mit Hilfe der Gleichung ermitteln möchte. Meist interessiert man sich in der Algebra für polynomiale Gleichungen, etwa des Typs.

Siegfried Bosch

Kapitel 2. Elementare Gruppentheorie

Zusammenfassung

Der Gruppenbegriff ist im Rahmen dieses Buches in zweierlei Hinsicht von Bedeutung. Einerseits beinhaltet er eine grundlegendemathematische Struktur, die man insbesondere bei Ringen, Körpern, Vektorräumen und Moduln findet, wenn man die dort gegebene Addition als Verknüpfung betrachtet. Gruppen dieses Typs sind stets kommutativ oder, wie man auch sagt, abelsch, benannt nach demMathematiker N. H. Abel. Daneben sind für uns aber auch die auf E. Galois zurückgehenden Galois-Gruppen von zentralem Interesse, da diese für die Theorie algebraischer Gleichungen benötigt werden.

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Kapitel 3. Ringe und Polynome

Zusammenfassung

Ein Ring ist eine additiv geschriebene abelsche Gruppe R, auf der zusätzlich eine Multiplikation definiert ist, wie etwa beim Ring ℤ Der ganzen Zahlen. Dabei verlangt man, dass R ein Monoid bezüglich der Multiplikation ist und dass Addition und Multiplikation im Sinne der Distributivgesetze miteinander verträglich sind. Wir werden die Multiplikation in Ringen stets als kommutativ voraussetzen, abgesehen von einigen Betrachtungen in Abschnitt 2.1. Bilden die von Null verschiedenen Elemente eines Ringes sogar eine (abelsche) Gruppe bezüglich der Multiplikation, so handelt es sich um einen Körper.

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Kapitel 4. Algebraische Körpererweiterungen

Zusammenfassung

Zunächst wollen wir erklären, auf welche Weise algebraische Gleichungen mit algebraischen Körpererweiterungen zusammenhängen. Wir beginnen mit dem nahe liegenden Fall einer algebraischen Gleichung mit rationale Koeffizienten, etwa \(f\left( x \right) = 0\), wobei \(f \in\) ℚ[X] ein normiertes Polynom vom Grad ≥ 1 ist. Die Frage, was man unter den Lösungen einer solchen Gleichung zu verstehen hat und wie man mit diesen rechnet, wollen wir erst einmal zurückstellen, indem wir den Fundamentalsatz der Algebra als bekannt annehmen.

Siegfried Bosch

Kapitel 5. Galois-Theorie

Zusammenfassung

In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass zu einem Körper K stets ein algebraischer Abschluss \(\overline{K}\) existiert und dass dieser bis auf K -Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Gehen wir daher von einer algebraischen Gleichung \(f\left( x \right) = 0\) mit einem nicht-konstanten Polynom \(f \in K\left[ X \right]\) aus, so zerfällt \(f\) über \(\overline{K}\) vollständig in Linearfaktoren, und man kann sagen, dass \(\overline{K}\) "sämtliche" Lösungen der algebraischen Gleichung \(f\left( x \right) = 0\) enthält. Der Teilkörper \(L \subset \overline{K}\) der über K von allen diesen Lösungen erzeugt wird, ist ein Zerfällungskörper Von \(f\), wobei die Erweiterung L/K endlich sowie gemäß 3.5/5 normal ist.

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Kapitel 6. Fortführung der Gruppentheorie

Zusammenfassung

Wir wollen an dieser Stelle noch einmal auf das Problem der Lösung algebraischer Gleichungen zurückkommen. Sei also \(f \in K\left[ X \right]\) ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus einem Körper K, und sei L ein Zerfällungskörper Von \(f\), wobei wir die Erweiterung L/K als separabel voraussetzen wollen.

Siegfried Bosch

Kapitel 7. Anwendungen der Galois-Theorie

Zusammenfassung

Inzwischen sind wir in der Gruppen- und Körpertheorie zu einem gewissen Abschluss gelangt und wollen nun zeigen, wie die Galois-Theorie zur Lösung einiger berühmter klassischer Fragestellungen eingesetzt werden kann. Wir beginnen in 6.1 mit dem Problem der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale, also mit demjenigen Problem, das E. Galois zur Entwicklung seiner "Galois"-Theorie motiviert hat, und beweisen, dass für ein normiertes separables Polynom \(f\) mit Koeffizienten aus einem Körper K die algebraische Gleichung \(f\left( x \right) = 0\) genau dann durch Radikale auflösbar ist, wenn die zugehörige Galois-Gruppe im gruppentheoretischen Sinne auflösbar ist.

Siegfried Bosch

Kapitel 8. Transzendente Erweiterungen

Zusammenfassung

Ausgehend von den rationalen Zahlen erkannte man schon frühzeitig, dass gewisse "Zahlen" wie etwa \(\sqrt 2\) nicht rational, also irrational sind. Man sprach von den Irrationalitäten und versuchte insbesondere, diese zu klassifizieren. Die Galois-Theorie lieferte dann erstmals einen Zugang zu den algebraischen unter den irrationalen Zahlen, also zu denjenigen, die einer nicht-trivialen algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus ℚ genügen. Kurze Zeit später konnte man zeigen, dass die algebraischen nur den "kleineren" Teil aller irrationalen Zahlen ausmachen, die "allermeisten" aber keiner nicht-trivialen algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus ℚ genügen und somit transzendent sind, wie man sagte.

Siegfried Bosch

Backmatter

Titel: Algebra
verfasst von: Siegfried Bosch
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-67464-2
Print ISBN: 978-3-662-67463-5
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-67464-2