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Erschienen in:
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2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. An Application of Gaussian Measures to Functional Analysis

verfasst von : Daniel W. Stroock

Erschienen in: Malliavin Calculus and Stochastic Analysis

Verlag: Springer US

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Abstract

In a variety of settings, it is shown that all Borel measurable, linear maps from one locally convex topological vector space to another must be continuous. When the image space is Polish, this gives a proof of L. Schwartz’s Borel graph theorem. The proof is based on a simple probabilistic argument and, except for the application to Schwartz’s theorem, avoids the descriptive set theory used in previous treatments of such results.
Received 6/14/2011; Accepted 11/22/2011; Final 11/22/2011

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Fußnoten
1
It should be observed that, because it deals with ℝ-valued maps, the proof of Lemma 3.1 does not require Fernique’s theorem. All that one needs is the fact that centered Gaussian measures are the only probability measures μ on ℝ with the property that μ is the distribution of \((\xi _{1},\xi _{2}) \in {\mathbb{R}}^{2}\rightarrow \frac{\xi _{1}+\xi _{2}} {\sqrt{2}} \in \mathbb{R}\) under μ2. See, for example, Exercise 2.3.21 in [7].
 
Literatur
1.
Fernique, X.: Régularité des trajectoires des fonctions aléatoires gaussiennes, Ecole d’Eté de Probabilités de Saint-Flour IV-1974. In: Hennequin, P.L. (ed.) Lecture Notes in Mathematics, vol. 480, pp. 1–97. Springer, Berlin (1975)
2.
Kuratowski, K.: Topologie I. Academic, New York (1966)
3.
Martineau, A.: Sur des théorèmes de S. Banach et L. Schwartz concernant le graphe fermé. Studia Mathematica XXX, 43–51 (1968)
4.
Parthasarathy, K.P.: Probability Measures on Metric Spaces, vol. 276. AMS Chelsea Series, Providence (1967)MATH
5.
Schwartz, L.: Sur le théorème du graphe. C. R. Acad. Sci. Paris 263 série A, 602–605 (1966)
6.
Stroock, D.: On a Theorem of L. Schwartz. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I 349(1–2), 5–6 (2010)MathSciNet
7.
Stroock, D.: Probability Theory, an Analytic View, 2nd edn. Cambridge University Press, Cambridge (2011)MATH
8.
Stroock, D.: Essentials of integration theory for analysis. In: GTM series. Springer Heidelberg (2011)MATHCrossRef
9.
Treves, F.: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Academic, New York (1967)MATH
10.
Yoshida, K.: Functional Analysis. In: Grundlehren Series # 123. Springer, Berlin (1965)
Metadaten
Titel
An Application of Gaussian Measures to Functional Analysis
verfasst von
Daniel W. Stroock
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer US
Buch
Malliavin Calculus and Stochastic Analysis

Print ISBN: 978-1-4614-5905-7

Electronic ISBN: 978-1-4614-5906-4

Copyright-Jahr: 2013

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4614-5906-4_1