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2017 | Buch

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Analysis 2

Differentialrechnung im IRn, gewöhnliche Differentialgleichungen

verfasst von: Prof. Dr. Otto Forster

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Buchreihe : Grundkurs Mathematik

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik im ersten Studienjahr dar und beschäftigt sich mit der mehrdimensionalen Diﬀerentialrechnung sowie mit gewöhnlichen Diﬀerentialgleichungen. Bei der Darstellung wurde angestrebt, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik relevant sind. Für die vorliegende Neuauﬂage wurde der Text vor allem in den ersten drei Paragraphen überarbeitet und dabei die topologischen Grundlagen ausführlicher dargestellt.Dieses seit vier Jahrzehnten bewährte Standardwerk enthält zahlreiche Übungsaufgaben. Das zugehörige Übungsbuch mit Lösungen unterstützt die Studierenden beim Selbststudium (zum Beispiel bei Prüfungsvorbereitungen).

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Differentialrechnung im ℝn

Frontmatter

§ 1. Metrische Räume, topologische Räume

Zusammenfassung

Für unsere späteren Untersuchungen von Funktionen mehrerer Veränderlichen brauchen wir u.a. einige topologische Grundbegriffe im ℝⁿ, wie Umgebung, offene Menge, abgeschlossene Menge, Rand. Es ist zweckmäßig, diese Begriffe gleich allgemeiner in metrischen Räumen und topologischen Räumen zu untersuchen. Metrische Räume sind Mengen, auf denen ein gewissen Axiomen genügender Abstandsbegriff gegeben ist, aus dem alles weitere abgeleitet wird. In topologischen Räumen wird alles auf den Begriff der offenen Menge zurückgeführt.

Otto Forster

§ 2. Grenzwerte. Stetigkeit

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen wird der Begriff der Konvergenz von Punkt-Folgen und die Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen oder toplogischen Räumen eingeführt. Dies verallgemeinert entsprechende Begriffsbildungen für Folgen reeller Zahlen und reelle Funktionen einer Veränderlichen.

Otto Forster

§ 3. Kompaktheit

Zusammenfassung

Wir kommen jetzt zu dem sehr wichtigen Begriff der Kompaktheit und studieren das Verhalten stetiger Funktionen auf kompakten Mengen, wie Annahme von Maximum und Minimum und gleichmäßige Stetigkeit. Wir erhalten dabei von neuem von einem abstrakteren Standpunkt aus die schon in Analysis 1 bewiesenen Sätze über stetige Funktionen auf beschränkten abgeschlossenen Intervallen in ℝ.

Otto Forster

§ 4. Kurven im ℝ n

Zusammenfassung

Nach den bisherigen abstrakten Überlegungen gehen wir jetzt wieder zur Untersuchung konkreter geometrischer Gebilde über, nämlich von Kurven im ℝⁿ. Wir definieren Kurventangenten, Schnittwinkel von Kurven und behandeln den Begriff der Bogenlänge und ihre Berechnung.

Otto Forster

§ 5. Partielle Ableitungen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen definieren wir die partiellen Ableitungen von Funktionen mehrerer Veränderlichen. Die partiellen Ableitungen sind nichts anderes als die gewöhnlichen Ableitungen von Funktionen einer Veränderlichen, die man erhält, wenn man alle Veränderlichen bis auf eine festhält. Mithilfe der partiellen Ableitungen werden wichtige Differential-Operatoren wie Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator definiert.

Otto Forster

§ 6. Totale Differenzierbarkeit

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen definieren wir die totale Differenzierbarkeit von Abbildungen einer offenen Teilmenge des ℝⁿ in den ℝ^m als gewisse Approximierbarkeit durch lineare Abbildungen. Im Gegensatz zur partiellen Differenzierbarkeit braucht man sich dabei nicht auf die einzelnen Koordinaten zu beziehen; auch ist eine total differenzierbare Abbildung von selbst stetig. Ganz einfach aus der Definition lässt sich die Kettenregel für differenzierbare Abbildungen ableiten.

Otto Forster

§ 7. Taylor-Formel. Lokale Extrema

Zusammenfassung

Das Differential einer differenzierbaren Funktion f liefert eine Approximation von f durch eine affin-lineare Funktion. Die Taylor-Formel gibt in Verallgemeinerung davon (falls f genügend oft differenzierbar ist) eine Approximation von f bis zu beliebig hoher Ordnung. Mithilfe der Approximation bis zur zweiten Ordnung werden wir in diesem Paragraphen außerdem die lokalen Extrema von Funktionen mehrerer Veränderlichen untersuchen.

Otto Forster

§ 8. Implizite Funktionen

Zusammenfassung

Auf einer Teilmenge U ⊂ ℝ² sei eine Funktion F:U → ℝ, (x, y) ↦ F(x, y), gegeben. Unter gewissen Voraussetzungen gibt es zu jedem x-Wert aus einem geeigneten Intervall I ⊂ ℝ genau ein y, so dass (x, y) ∈ U und F(x, y) = 0. Dadurch wird dann eine Funktion y = g(x) bestimmt, für die F(x, g(x)) = 0 für alle x ∈ I. Man sagt in diesem Fall, die Funktion g werde durch die Gleichung F(x, y) = 0 implizit definiert. In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns genauer mit den Bedingungen für die Existenz und Differenzierbarkeit impliziter Funktionen. Als Anwendung davon untersuchen wir die Umkehrung von differenzierbaren Abbildungen.

Otto Forster

§ 9. Untermannigfaltigkeiten

Zusammenfassung

In der Differentialrechnung mehrerer Veränderlichen sind die k-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des ℝⁿ das krummlinige Analogon der k-dimensionalen affinen Unterräume in der Linearen Algebra. Lokal kann eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit im ℝⁿ entweder durch eine Parameterdarstellung mit k reellen Parametern beschrieben werden oder als Nullstellengebilde von n – k unabhängigen differenzierbaren Funktionen. In diesem Paragraphen besprechen wir auch Tangential- und Normalen-Vektoren an Untermannigfaltigkeiten und leiten die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren zur Bestimmung von Extrema unter Nebenbedingungen her.

Otto Forster

§ 10. Integrale, die von einem Parameter abhängen

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen beschäftigen wir uns mit folgendem Problem: Sei f(x, y) eine Funktion von zwei Variablen x, y. Für einen festen y-Wert werde die Funktion über ein Intervall a ⩽ x ⩽ b integriert. Das Integral hängt dann vom gewählten y-Wert ab, es entsteht also eine Funktion φ des “Parameters” y. Es interessiert nun, unter welchen Voraussetzungen an f die Funktion φ stetig bzw. differenzierbar von y abhängt. Die erhaltenen Ergebnisse werden wir benutzen, um die sog. Eulerschen Differentialgleichungen der Variationsrechnung abzuleiten.

Otto Forster

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Frontmatter

§ 11. Elementare Lösungsmethoden

Zusammenfassung

Eine Differentialgleichung (erster Ordnung) ist eine Bedingungsgleichung für eine zu bestimmende Funktion, in der die Ableitung als Funktion des Arguments und des Wertes der Funktion dargestellt wird. Geometrisch bedeutet das die Vorgabe eines Richtungsfelds; es wird dann eine Funktion gesucht, deren Graph sich an dieses Richtungsfeld anschmiegt. In diesem Paragraphen behandeln wir einige einfache Beispiele, in denen man die Lösungen einer Differentialgleichung explizit bestimmen kann.

Otto Forster

§ 12. Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Zusammenfassung

Nachdem wir im vorigen Paragraphen die Lösungen einiger einfacher spezieller Differentialgleichungen studiert haben, beweisen wir jetzt einen allgemeinen Existenzund Eindeutigkeitssatz. Dabei behandeln wir sogleich Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung. Dies liefert gleichzeitig einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen höherer Ordnung, da sich diese auf Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung zurückführen lassen.

Otto Forster

§ 13. Lineare Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Wir behandeln jetzt die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen. Die Aussagen gleichen in mancher Hinsicht denen aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme in der Linearen Algebra. So bilden die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung einen Vektorraum. Man erhält die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung, indem man zu einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die allgemeine Lösung der zugeordneten homogenen Differentialgleichung addiert.

Otto Forster

§ 14. Differentialgleichungen. Ordnung

Zusammenfassung

In diesem Paragraphen studieren wir einige spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die in der theoretischen Physik eine Rolle spielen. Wir behandeln u.a die eindimensionale Bewegung in einem Potential, die gedämpfte Schwingung und die Besselsche Differentialgleichung.

Otto Forster

§ 15. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gibt es eine sehr befriedigende Lösungstheorie. Die Lösung einer solchen Differentialgleichung ist äquivalent mit der Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms n-ten Grades.

Otto Forster

§ 16. Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zusammenfassung

Die Lösungstheorie der Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beruht auf der Eigenwerttheorie von Matrizen. Die explizite Bestimmung eines Lösungs-Fundamentalsystems läuft auf die Transformation der Matrix des Differentialgleichungssystems auf Normalform hinaus.

Otto Forster

Backmatter

Titel: Analysis 2
verfasst von: Prof. Dr. Otto Forster
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-19411-6
Print ISBN: 978-3-658-19410-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-19411-6