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Über dieses Buch

Das Buch bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen Veränderlichen sowie in einer komplexen Variablen. Die elementaren Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über das uneigentliche n-dimensionale Riemannsche Integral die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen Integral und dessen Maßtheorie werden die Banachräume p-fach integrierbarer Funktionen eingeführt. Es werden für gewöhnliche Differentialgleichungen systematisch Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen behandelt. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird direkt über die Untersuchung von Geodätischen der Riemannsche Raum und sein Krümmungsbegriff vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Chapter 1. Das System der reellen und komplexen Zahlen

Die Bereiche, in welchen wir rechnen, sind einer ständigen Entwicklung unterworfen. Wir präsentieren die Konstruktion der reellen Zahlen mittels Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen rationaler Zahlen, die D. Hilbert in seinem Buch

Grundlagen der Geometrie

vorgeschlagen hat. Diese Methode bildet ein Grundprinzip in der modernen Analysis.

Friedrich Sauvigny

Chapter 2. Differential- und Integralrechnung in einer Veränderlichen

Dieses Kapitel ist im Zusammenhang mit dem nächsten zu verstehen, wo explizit die in der Analysis häufig verwendeten sogenannten elementaren Funktionen vorgestellt werden. Diese werden durch reelle oder komplexe Potenzreihen definiert oder als deren Umkehrfunktion gewonnen.

Friedrich Sauvigny

Chapter 3. Die elementaren Funktionen als Potenzreihen

Unter den elementaren Funktionen in einer reellen oder komplexen Veränderlichen verstehen wir solche, die lokal durch eine reelle oder komplexe Potenzreihe darstellbar sind. Dazu gehören Polynome, gebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, sowie die Exponential- und Logarithmusfunktion, die allgemeine Potenzfunktion, die trigonometrischen Funktionen, die Arcus- und Hyperbelfunktionen als

transzendente Funktionen.

Friedrich Sauvigny

Chapter 4. Partielle Differentiation und differenzierbare Mannigfaltigkeiten im $$ \mathbb{R}^{n} $$

In diesem Kapitel wollen wir die Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher entwickeln. Während der Begriff der Stetigkeit auch für die mehrdimensionale Situation in Kap. II §§ 1,2 behandelt wurde, werden wir die mehrdimensionale Differentialrechnung nun auf die eindimensionale zurückführen mit dem Konzept der partiellen Ableitungen.

Friedrich Sauvigny

Chapter 5. Riemannsches Integral im $$ \mathbb{R}^{n} $$ mit Approximations - und Integralsätzen

Hier werden das Riemannsche Integral in mehreren Veränderlichen mit der Transformationsformel sowie der Stokessche Integralsatz und geeignete Approximationssätze behandelt.

Friedrich Sauvigny

Chapter 6. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Wir beginnen mit der Behandlung von Differentialgleichungen erster Ordnung, die wir mit der

Eulerschen Multiplikatormethode

lösen. Dann betrachten wir systematisch Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung, wobei wir Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen beantworten.

Friedrich Sauvigny

Chapter 7. Eindimensionale Variationsrechnung

Hier wird die Weierstraßsche Feldtheorie und der Riemannsche Raum über die Geodätischen vorgestellt.

Friedrich Sauvigny

Chapter 8. Maß - und Integrationstheorie

Das Studium dieser Räume von D. Hilbert und S. Banach wird vorbereitet durch das Integral von H. Lebesgue. Aus seiner Beschäftigung mit sogenannten

Minimalflächen

, den Flächen kleinsten Inhalts, und dem damit verbundenen gründlichen Studium des Flächeninhalts hat Lebesgue seinen Maß- und Integralbegriff entwickelt, der auch für die Wahrscheinlichkeitstheorie fundamental ist.

Friedrich Sauvigny

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