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Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

12. Applications to parabolic problems

verfasst von : Alexandre N. Carvalho, José A. Langa, James C. Robinson

Erschienen in: Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems

Verlag: Springer New York

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Abstract

In this chapter we consider the asymptotic dynamics of parabolic problems of the form

$$\begin{array}{rcl}{ u}_{t} -\mbox{ div}(a(x)\nabla u) + c(x)u& =& f(x,t,u),\quad \mbox{ in}\quad \Omega, \\ u& =& 0,\quad \mbox{ on}\quad \partial \Omega, \end{array}$$

(12.1)

where N is a positive integer, $\Omega \subset {\mathbb{R}}^{N}$ is a bounded domain with smooth boundary ∂Ω, $a,c \in {C}^{1}(\overline{\Omega })$, ${\inf }_{x\in \Omega }a(x) = m > 0$, and $f : \Omega \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is measurable in the first variable and locally Lipschitz in the second and third variables, uniformly for $x \in \bar{ \Omega }$.

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Denote the Fourier transform by $\mathcal{F}$. The Bessel potential spaces ${H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ are defined by

$${H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n}) := {J}^{s}({L}^{q}({\mathbb{R}}^{n})),\qquad \mbox{ where}\qquad {J}^{s}f := {\mathcal{F}}^{-1}({(1 + \vert \cdot {\vert }^{2})}^{-s/2}\mathcal{F}(f)).$$

If $\phi \in {H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$, then there exists a unique ${f}_{\phi,s} \in {L}^{q}({\mathbb{R}}^{n})$ such that J ^s(f _ϕ, s) = ϕ, and we define $\|{\phi \|}_{{H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n})} =\| {f{}_{\phi,s}\|}_{{L}^{q}({\mathbb{R}}^{n})}$. For bounded smooth domains Ω, H _q ^s(Ω) is the space of restrictions to Ω of the functions in ${H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$. The norm of ϕ ∈ H _q ^s(Ω) is the infimum of the norms of the functions $\tilde{\phi } \in {H}_{q}^{s}({\mathbb{R}}^{n})$ whose restrictions to Ω coincide with ϕ. See Adams (1978) for more details.

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Titel: Applications to parabolic problems
verfasst von: Alexandre N. Carvalho
José A. Langa
James C. Robinson
Verlag: Springer New York
Buch: Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems
Print ISBN: 978-1-4614-4580-7

Electronic ISBN: 978-1-4614-4581-4

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4581-4_12

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Abstract

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