Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium - Höhere Analysis, Numerik und Stochastik

Frontmatter

2. Lineare Differenzialgleichungen – Systeme und Gleichungen höherer Ordnung

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

3. Randwertprobleme und nichtlineare Differenzialgleichungen – Funktionen sind gesucht

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

4. Qualitative Theorie – jenseits von analytischen und mehr als numerische Lösungen

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

5. Funktionentheorie – Analysis im Komplexen

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

6. Differenzialformen und der allgemeine Satz von Stokes

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

7. Grundzüge der Maß- und Integrationstheorie – vom Messen und Mitteln

Zusammenfassung

Zeigen Sie im Falle des Grundraums Ω = {1, 2, 3}, dass die Vereinigung von σ-Algebren im Allgemeinen keine σ-Algebra ist.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

8. Lineare Funktionalanalysis – Operatoren statt Matrizen

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

9. Fredholm-Gleichungen – kompakte Störungen der Identität

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

10. Hilberträume – fast wie im Anschauungsraum

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

11. Warum Numerische Mathematik? – Modellierung, Simulation und Optimierung

Zusammenfassung

Auf einer Maschine, die im Dezimalsystem mit 4 Stellen und maximal 2 Stellen im Exponenten rechnet, soll die Zahl 0.012345·10⁻⁹⁹ in normalisierter Form dargestellt werden.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

12. Interpolation – Splines und mehr

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

13. Quadratur – numerische Integrationsmethoden

Zusammenfassung

Die Gewichte α_i der geschlossenen Newton-Cotes-Formeln bzw.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

14. Numerik linearer Gleichungssysteme – Millionen von Variablen im Griff

Zusammenfassung

Geben Sie ein Beispiel an, bei dem die linearen Iterationsverfahren ψ und ϕ nicht konvergieren und die Produktiteration ψ ◦ ϕ konvergiert.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

15. Numerische Eigenwertberechnung – Einschließen und Approximieren

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

16. Lineare Ausgleichsprobleme – im Mittel das Beste

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

17. Nichtlineare Gleichungen und Systeme – numerisch gelöst

Zusammenfassung

Warum ergibt jeder Schritt des Bisektionsverfahrens eine weitere Ziffer in der Dualdarstellung der Näherungslösung?

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

18. Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen – Schritt für Schritt zur Trajektorie

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

19. Wahrscheinlichkeitsräume – Modelle für stochastische Vorgänge

Zusammenfassung

In einer Schachtel liegen fünf von 1 bis 5 nummerierte Kugeln. Geben Sie einen Grundraum für die Ergebnisse eines stochastischen Vorgangs an, der darin besteht, rein zufällig zwei Kugeln mit einem Griff zu ziehen.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

20. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit – Meister Zufall hängt (oft) ab

Zusammenfassung

Drei Kästen haben je zwei Schubladen. In jeder Schublade liegt eine Münze, und zwar in Kasten 1 je eine Gold- und in Kasten 2 je eine Silbermünze. In Kasten 3 befindet sich in einer Schublade eine Gold- und in der anderen eine Silbermünze.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

21. Diskrete Verteilungsmodelle – wenn der Zufall zählt

Zusammenfassung

In der gynäkologischen Abteilung eines Krankenhauses entbinden in einer bestimmten Woche n Frauen. Es mögen keine Mehrlingsgeburten auftreten, und Jungen- bzw. Mädchengeburten seien gleichwahrscheinlich. Außerdem werde angenommen, dass das Geschlecht der Neugeborenen für alle Geburten stochastisch unabhängig sei.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

22. Stetige Verteilungen und allgemeine Betrachtungen – jetzt wird es analytisch

Zusammenfassung

Es sei F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X. Zeigen Sie.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

23. Konvergenzbegriffe und Grenzwertsätze – Stochastik für große Stichproben

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar

24. Grundlagen der Mathematischen Statistik – vom Schätzen und Testen

Zusammenfassung

Konstruieren Sie in der Situation von Aufgabe eine obere Konfidenzschranke für ϑ zur Konfidenzwahrscheinlichkeit 1 − α.

Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, Thomas Sonar