17. Balken-Biegeschwingungen

Auf einer Kranbrücke (Biegebalken) steht eine Laufkatze, die an einem Seil eine Last trägt. Wie schwingt das System, wenn die Last plötzlich abfällt? Die partielle Differentialgleichung für die Balkenbiegung ist von vierter Ordnung nach dem Ort. Die aufgesetzte diskrete Masse von Laufkatze mit Last liegt im Feld. Daher muss man das System zum Ansetzen der Schwingungsformen in zwei Balkenstücke und die Punktmasse zerschneiden, nach Exponentialansatz die Balkengleichung bereichsweise lösen und mit jedem der beiden Teile je zwei Rand- bzw. Übergangsbedingungen erfüllen. Für die tieferen Eigenschwingungen gewinnt man mit diskreten globalen Ansatzfunktionen, leichter und schneller brauchbare Näherungslösungen. Die Schwingungen unmittelbar nach Lastabfall folgen durch Entwickeln der statischen Biegelinie infolge des Gewichts der Last nach den Eigenfunktionen. Diskret ist das formal einfach, muss allerdings numerisch gelöst werden. Für eine strenge Lösung muss man die Biegelinie nach den unendlich vielen Eigenfunktionen entwickeln. Das gelingt, wenn man deren Orthogonalität ausnutzt. Die Lösung lässt sich formal anschreiben.