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Erschienen in:
2014 | OriginalPaper | Buchkapitel
6. Chebyshev’s Theorem on the Asymptotic Density of the Primes
verfasst von : Ross G. Pinsky
Erschienen in: Problems from the Discrete to the Continuous
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Abstract
Let π(n) denote the number of primes that are no larger than n; that is, where here and elsewhere in this chapter and the next two, the letter p in a summation denotes a prime. Euclid proved that there are infinitely many primes: \(\lim _{n\rightarrow \infty }\pi (n) = \infty \). The asymptotic density of the primes is 0; that is, The prime number theorem
gives the leading order asymptotic behavior of π(n).
$$\displaystyle{\pi (n) =\sum _{p\leq n}1,}$$
$$\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{\pi (n)} {n} = 0. }$$