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Erschienen in:
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2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

(Contravariant) Koszul Duality for DG Algebras

verfasst von : Luchezar L. Avramov

Erschienen in: Algebras, Quivers and Representations

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Abstract

A DG algebras A over a field k with H(A) connected and H<0(A)=0 has a unique up to isomorphism DG module K with H(K)≅k. It is proved that if \(\operatorname {H}(A)\) is degreewise finite, then \(\mathrm{RHom}_{A}(?,K)\colon \mathsf{D^{df}_{+}}(A)^{\mathsf{op}}\equiv \mathsf{D_{df}^{+}}(\mathrm{RHom}_{A}(K,K))\) is an exact equivalence of derived categories of DG modules with degreewise finite-dimensional homology. It induces an equivalences of \(\mathsf{D^{df}_{b}}(A)^{\mathsf{op}}\) and the category of perfect DG RHom A (K,K) modules, and vice-versa. Corresponding statements are proved also when H(A) is simply connected and H<0(A)=0.

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Fußnoten
1
The reference has been redirected to the bibliography in the present paper.
 
2
In order to keep displays readable we write | instead of ⊗. Brackets are placed under those https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-642-39485-0_2/316967_1_En_2_IEq26_HTML.gif that are modified at the given step. Thus, computations can be followed by checking for commutativity small diagrams involving only the selected terms.
 
3
This is the opposite algebra of the quadratic dual defined in [6, 2.8.1], which is constructed by using the canonical map V ∗⊗U ∗→(U⊗V)∗, see [6, 2.7], rather than the map ϖ UV from Appendix A.4(3).
 
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Metadaten
Titel
(Contravariant) Koszul Duality for DG Algebras
verfasst von
Luchezar L. Avramov
Copyright-Jahr
2013
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Algebras, Quivers and Representations

Print ISBN: 978-3-642-39484-3

Electronic ISBN: 978-3-642-39485-0

Copyright-Jahr: 2013

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-39485-0_2